Theorem op2nd 4147

Description: Extract the second member of an ordered pair.

Hypotheses

Ref	Expression
op1st.1	|- A e. V
op2n.2	|- B e. V

Assertion

Ref	Expression
op2nd	|- (2nd` <.A, B>.) = B

Proof of Theorem op2nd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		2ndval 4143	. 2 |- (2nd` <.A, B>.) = U.ran {<.A, B>.}
2		op1st.1	. . 3 |- A e. V
3		op2n.2	. . 3 |- B e. V
4	2, 3	op2nda 3584	. 2 |- U.ran {<.A, B>.} = B
5	1, 4	eqtri 1538	1 |- (2nd` <.A, B>.) = B

Syntax hints:   = wceq 992   e. wcel 994  Vcvv 1857  {csn 2467  <.cop 2469  U.cuni 2569  ran crn 3252  ` cfv 3263  2ndc2nd 4139

This theorem is referenced by:  op2ndg 4149  2ndval2 4151  fo2ndres 4157  2nd2val 4159  sbcopeq1a 4171  csbopeq1a 4172  dfopab2 4173  dfoprab3 4174  dfoprab5s 4177  df2nd2 4189  fparlem2 4200  seq11lem 6680  seq1suclem 6681  ruclem19 7740  ruclem21 7742  ruclem25 7746  xplmi 8184  xplm 8186  xpcn 8187  bcthlem32 8241  cnnvs 8558  cnnvnm 8559  abscn 8597  h2hsm 9119  h2hnm 9120  hhsssm 9406  hhssnm 9407  hhsssh2 9416  eloi 10817  2ndcctbss 11539  gaid 11776  xp2nd 11797  oprabopabf 11807  upxp 11822  uptx 11978  txcnopab 11980

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 998  ax-gen 999  ax-8 1000  ax-9 1001  ax-10 1002  ax-11 1003  ax-12 1004  ax-13 1005  ax-14 1006  ax-17 1007  ax-4 1009  ax-5o 1011  ax-6o 1014  ax-9o 1159  ax-10o 1177  ax-16 1247  ax-11o 1255  ax-ext 1500  ax-sep 2777  ax-nul 2784  ax-pow 2818  ax-pr 2855  ax-un 3089

This theorem depends on definitions:  df-bi 145  df-or 222  df-an 223  df-ex 1017  df-sb 1209  df-eu 1421  df-mo 1422  df-clab 1506  df-cleq 1511  df-clel 1514  df-ne 1630  df-ral 1695  df-rex 1696  df-v 1858  df-dif 2101  df-un 2102  df-in 2103  df-ss 2105  df-nul 2333  df-pw 2459  df-sn 2470  df-pr 2471  df-op 2474  df-uni 2570  df-br 2693  df-opab 2741  df-id 2913  df-xp 3265  df-rel 3266  df-cnv 3267  df-co 3268  df-dm 3269  df-rn 3270  df-res 3271  df-ima 3272  df-fun 3273  df-fv 3279  df-2nd 4141

Copyright terms: Public domain