Theorem opabex 3601

Description: Existence of a function expressed as class of ordered pairs.

Hypotheses

Ref	Expression
opabex.1	|- A e. V
opabex.2	|- (x e. A -> E*yph)

Assertion

Ref	Expression
opabex	|- {<.x, y>. | (x e. A /\ ph)} e. V

Distinct variable group:   x,y,A

Proof of Theorem opabex

Step	Hyp	Ref	Expression
1		funopab 3540	. . 3 |- (Fun {<.x, y>. | (x e. A /\ ph)} <-> A.xE*y(x e. A /\ ph))
2		opabex.2	. . . 4 |- (x e. A -> E*yph)
3		moanimv 1427	. . . 4 |- (E*y(x e. A /\ ph) <-> (x e. A -> E*yph))
4	2, 3	mpbir 190	. . 3 |- E*y(x e. A /\ ph)
5	1, 4	mpgbir 986	. 2 |- Fun {<.x, y>. | (x e. A /\ ph)}
6		opabex.1	. . 3 |- A e. V
7		dmopabss 3316	. . 3 |- dom {<.x, y>. | (x e. A /\ ph)} (_ A
8	6, 7	ssexi 2715	. 2 |- dom {<.x, y>. | (x e. A /\ ph)} e. V
9		funex 3600	. 2 |- ((Fun {<.x, y>. | (x e. A /\ ph)} /\ dom {<.x, y>. | (x e. A /\ ph)} e. V) -> {<.x, y>. | (x e. A /\ ph)} e. V)
10	5, 8, 9	mp2an 696	1 |- {<.x, y>. | (x e. A /\ ph)} e. V

Syntax hints:   -> wi 3   /\ wa 223   e. wcel 956  E*wmo 1379  Vcvv 1807  {copab 2661  dom cdm 3165  Fun wfun 3171

This theorem is referenced by:  opabex2 3602

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 960  ax-gen 961  ax-8 962  ax-9 963  ax-10 964  ax-11 965  ax-12 966  ax-13 967  ax-14 968  ax-17 969  ax-4 971  ax-5o 973  ax-6o 976  ax-9o 1121  ax-10o 1138  ax-16 1208  ax-11o 1216  ax-ext 1457  ax-rep 2688  ax-sep 2698  ax-pow 2737  ax-pr 2774  ax-un 2861

This theorem depends on definitions:  df-bi 147  df-or 224  df-an 225  df-ex 979  df-sb 1170  df-eu 1380  df-mo 1381  df-clab 1462  df-cleq 1467  df-clel 1470  df-ne 1584  df-rex 1647  df-v 1808  df-dif 2045  df-un 2046  df-in 2047  df-ss 2049  df-nul 2277  df-pw 2398  df-sn 2408  df-pr 2409  df-op 2412  df-uni 2499  df-br 2615  df-opab 2662  df-id 2830  df-xp 3179  df-rel 3180  df-cnv 3181  df-co 3182  df-dm 3183  df-rn 3184  df-res 3185  df-ima 3186  df-fun 3187  df-fn 3188

Copyright terms: Public domain