Theorem opabex2g 3608

Description: Existence of a function expressed as class of ordered pairs.

Assertion

Ref	Expression
opabex2g	|- (A e. C -> {<.x, y>. | (x e. A /\ y = B)} e. V)

Distinct variable groups:   x,y,A   y,B

Proof of Theorem opabex2g

Step	Hyp	Ref	Expression
1		dmopabss 3318	. . 3 |- dom {<.x, y>. | (x e. A /\ y = B)} (_ A
2		ssexg 2718	. . 3 |- ((dom {<.x, y>. | (x e. A /\ y = B)} (_ A /\ A e. C) -> dom {<.x, y>. | (x e. A /\ y = B)} e. V)
3	1, 2	mpan 694	. 2 |- (A e. C -> dom {<.x, y>. | (x e. A /\ y = B)} e. V)
4		funopab 3545	. . . 4 |- (Fun {<.x, y>. | (x e. A /\ y = B)} <-> A.xE*y(x e. A /\ y = B))
5		moeq 1918	. . . . 5 |- E*y y = B
6	5	moani 1423	. . . 4 |- E*y(x e. A /\ y = B)
7	4, 6	mpgbir 987	. . 3 |- Fun {<.x, y>. | (x e. A /\ y = B)}
8		funex 3605	. . 3 |- ((Fun {<.x, y>. | (x e. A /\ y = B)} /\ dom {<.x, y>. | (x e. A /\ y = B)} e. V) -> {<.x, y>. | (x e. A /\ y = B)} e. V)
9	7, 8	mpan 694	. 2 |- (dom {<.x, y>. | (x e. A /\ y = B)} e. V -> {<.x, y>. | (x e. A /\ y = B)} e. V)
10	3, 9	syl 10	1 |- (A e. C -> {<.x, y>. | (x e. A /\ y = B)} e. V)

Syntax hints:   -> wi 3   /\ wa 223   = wceq 955   e. wcel 957  E*wmo 1381  Vcvv 1809   (_ wss 2045  {copab 2663  dom cdm 3167  Fun wfun 3173

This theorem is referenced by:  qsexg 4291  ntrfval 7646  clsfval 7647  neifval 7693  lpfval 7721  cnpfval 7736  grpinvfval 8049  grplactfval 8080  homcard 10520  rcfpfil 10552  sfvlim 10557

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 961  ax-gen 962  ax-8 963  ax-9 964  ax-10 965  ax-11 966  ax-12 967  ax-13 968  ax-14 969  ax-17 970  ax-4 972  ax-5o 974  ax-6o 977  ax-9o 1122  ax-10o 1139  ax-16 1210  ax-11o 1218  ax-ext 1459  ax-rep 2690  ax-sep 2700  ax-pow 2739  ax-pr 2776  ax-un 2863

This theorem depends on definitions:  df-bi 147  df-or 224  df-an 225  df-ex 980  df-sb 1172  df-eu 1382  df-mo 1383  df-clab 1464  df-cleq 1469  df-clel 1472  df-ne 1586  df-rex 1649  df-v 1810  df-dif 2047  df-un 2048  df-in 2049  df-ss 2051  df-nul 2279  df-pw 2400  df-sn 2410  df-pr 2411  df-op 2414  df-uni 2501  df-br 2617  df-opab 2664  df-id 2832  df-xp 3181  df-rel 3182  df-cnv 3183  df-co 3184  df-dm 3185  df-rn 3186  df-res 3187  df-ima 3188  df-fun 3189  df-fn 3190

Copyright terms: Public domain