Theorem opabid 2805

Description: The law of concretion. Special case of Theorem 9.5 of [Quine] p. 61.

Assertion

Ref	Expression
opabid	|- (<.x, y>. e. {<.x, y>. | ph} <-> ph)

Distinct variable group:   x,y

Proof of Theorem opabid

Step	Hyp	Ref	Expression
1		clelab 1578	. 2 |- (<.x, y>. e. {z | E.xE.y(z = <.x, y>. /\ ph)} <-> E.z(z = <.x, y>. /\ E.xE.y(z = <.x, y>. /\ ph)))
2		df-opab 2662	. . 3 |- {<.x, y>. | ph} = {z | E.xE.y(z = <.x, y>. /\ ph)}
3	2	eleq2i 1535	. 2 |- (<.x, y>. e. {<.x, y>. | ph} <-> <.x, y>. e. {z | E.xE.y(z = <.x, y>. /\ ph)})
4		19.41v 1303	. . . . . 6 |- (E.z((z = <.x, y>. /\ z = <.w, v>.) /\ [v / y][w / x]ph) <-> (E.z(z = <.x, y>. /\ z = <.w, v>.) /\ [v / y][w / x]ph))
5		anass 439	. . . . . . 7 |- (((z = <.x, y>. /\ z = <.w, v>.) /\ [v / y][w / x]ph) <-> (z = <.x, y>. /\ (z = <.w, v>. /\ [v / y][w / x]ph)))
6	5	exbii 1049	. . . . . 6 |- (E.z((z = <.x, y>. /\ z = <.w, v>.) /\ [v / y][w / x]ph) <-> E.z(z = <.x, y>. /\ (z = <.w, v>. /\ [v / y][w / x]ph)))
7		eqcom 1474	. . . . . . . 8 |- (<.x, y>. = <.w, v>. <-> <.w, v>. = <.x, y>.)
8		opex 2777	. . . . . . . . 9 |- <.x, y>. e. V
9	8	eqvinc 1879	. . . . . . . 8 |- (<.x, y>. = <.w, v>. <-> E.z(z = <.x, y>. /\ z = <.w, v>.))
10		visset 1809	. . . . . . . . 9 |- w e. V
11		visset 1809	. . . . . . . . 9 |- v e. V
12		visset 1809	. . . . . . . . 9 |- y e. V
13	10, 11, 12	opth 2782	. . . . . . . 8 |- (<.w, v>. = <.x, y>. <-> (w = x /\ v = y))
14	7, 9, 13	3bitr3 181	. . . . . . 7 |- (E.z(z = <.x, y>. /\ z = <.w, v>.) <-> (w = x /\ v = y))
15	14	anbi1i 481	. . . . . 6 |- ((E.z(z = <.x, y>. /\ z = <.w, v>.) /\ [v / y][w / x]ph) <-> ((w = x /\ v = y) /\ [v / y][w / x]ph))
16	4, 6, 15	3bitr3r 182	. . . . 5 |- (((w = x /\ v = y) /\ [v / y][w / x]ph) <-> E.z(z = <.x, y>. /\ (z = <.w, v>. /\ [v / y][w / x]ph)))
17	16	2exbii 1050	. . . 4 |- (E.wE.v((w = x /\ v = y) /\ [v / y][w / x]ph) <-> E.wE.vE.z(z = <.x, y>. /\ (z = <.w, v>. /\ [v / y][w / x]ph)))
18		sbel2x 1343	. . . 4 |- (ph <-> E.wE.v((w = x /\ v = y) /\ [v / y][w / x]ph))
19		excom 1044	. . . . 5 |- (E.zE.wE.v(z = <.x, y>. /\ (z = <.w, v>. /\ [v / y][w / x]ph)) <-> E.wE.zE.v(z = <.x, y>. /\ (z = <.w, v>. /\ [v / y][w / x]ph)))
20		exdistr2 1309	. . . . 5 |- (E.zE.wE.v(z = <.x, y>. /\ (z = <.w, v>. /\ [v / y][w / x]ph)) <-> E.z(z = <.x, y>. /\ E.wE.v(z = <.w, v>. /\ [v / y][w / x]ph)))
21		excom 1044	. . . . . 6 |- (E.zE.v(z = <.x, y>. /\ (z = <.w, v>. /\ [v / y][w / x]ph)) <-> E.vE.z(z = <.x, y>. /\ (z = <.w, v>. /\ [v / y][w / x]ph)))
22	21	exbii 1049	. . . . 5 |- (E.wE.zE.v(z = <.x, y>. /\ (z = <.w, v>. /\ [v / y][w / x]ph)) <-> E.wE.vE.z(z = <.x, y>. /\ (z = <.w, v>. /\ [v / y][w / x]ph)))
23	19, 20, 22	3bitr3 181	. . . 4 |- (E.z(z = <.x, y>. /\ E.wE.v(z = <.w, v>. /\ [v / y][w / x]ph)) <-> E.wE.vE.z(z = <.x, y>. /\ (z = <.w, v>. /\ [v / y][w / x]ph)))
24	17, 18, 23	3bitr4 183	. . 3 |- (ph <-> E.z(z = <.x, y>. /\ E.wE.v(z = <.w, v>. /\ [v / y][w / x]ph)))
25		ax-17 969	. . . . . . 7 |- (E.y(z = <.x, y>. /\ ph) -> A.wE.y(z = <.x, y>. /\ ph))
26		ax-17 969	. . . . . . . . 9 |- (z = <.w, y>. -> A.x z = <.w, y>.)
27		hbs1 1330	. . . . . . . . 9 |- ([w / x]ph -> A.x[w / x]ph)
28	26, 27	hban 1007	. . . . . . . 8 |- ((z = <.w, y>. /\ [w / x]ph) -> A.x(z = <.w, y>. /\ [w / x]ph))
29	28	hbex 1004	. . . . . . 7 |- (E.y(z = <.w, y>. /\ [w / x]ph) -> A.xE.y(z = <.w, y>. /\ [w / x]ph))
30		opeq1 2483	. . . . . . . . . 10 |- (x = w -> <.x, y>. = <.w, y>.)
31	30	eqeq2d 1483	. . . . . . . . 9 |- (x = w -> (z = <.x, y>. <-> z = <.w, y>.))
32		sbequ12 1179	. . . . . . . . 9 |- (x = w -> (ph <-> [w / x]ph))
33	31, 32	anbi12d 627	. . . . . . . 8 |- (x = w -> ((z = <.x, y>. /\ ph) <-> (z = <.w, y>. /\ [w / x]ph)))
34	33	exbidv 1277	. . . . . . 7 |- (x = w -> (E.y(z = <.x, y>. /\ ph) <-> E.y(z = <.w, y>. /\ [w / x]ph)))
35	25, 29, 34	cbvex 1164	. . . . . 6 |- (E.xE.y(z = <.x, y>. /\ ph) <-> E.wE.y(z = <.w, y>. /\ [w / x]ph))
36		ax-17 969	. . . . . . . 8 |- ((z = <.w, y>. /\ [w / x]ph) -> A.v(z = <.w, y>. /\ [w / x]ph))
37		ax-17 969	. . . . . . . . 9 |- (z = <.w, v>. -> A.y z = <.w, v>.)
38		hbs1 1330	. . . . . . . . 9 |- ([v / y][w / x]ph -> A.y[v / y][w / x]ph)
39	37, 38	hban 1007	. . . . . . . 8 |- ((z = <.w, v>. /\ [v / y][w / x]ph) -> A.y(z = <.w, v>. /\ [v / y][w / x]ph))
40		opeq2 2484	. . . . . . . . . 10 |- (y = v -> <.w, y>. = <.w, v>.)
41	40	eqeq2d 1483	. . . . . . . . 9 |- (y = v -> (z = <.w, y>. <-> z = <.w, v>.))
42		sbequ12 1179	. . . . . . . . 9 |- (y = v -> ([w / x]ph <-> [v / y][w / x]ph))
43	41, 42	anbi12d 627	. . . . . . . 8 |- (y = v -> ((z = <.w, y>. /\ [w / x]ph) <-> (z = <.w, v>. /\ [v / y][w / x]ph)))
44	36, 39, 43	cbvex 1164	. . . . . . 7 |- (E.y(z = <.w, y>. /\ [w / x]ph) <-> E.v(z = <.w, v>. /\ [v / y][w / x]ph))
45	44	exbii 1049	. . . . . 6 |- (E.wE.y(z = <.w, y>. /\ [w / x]ph) <-> E.wE.v(z = <.w, v>. /\ [v / y][w / x]ph))
46	35, 45	bitr 173	. . . . 5 |- (E.xE.y(z = <.x, y>. /\ ph) <-> E.wE.v(z = <.w, v>. /\ [v / y][w / x]ph))
47	46	anbi2i 480	. . . 4 |- ((z = <.x, y>. /\ E.xE.y(z = <.x, y>. /\ ph)) <-> (z = <.x, y>. /\ E.wE.v(z = <.w, v>. /\ [v / y][w / x]ph)))
48	47	exbii 1049	. . 3 |- (E.z(z = <.x, y>. /\ E.xE.y(z = <.x, y>. /\ ph)) <-> E.z(z = <.x, y>. /\ E.wE.v(z = <.w, v>. /\ [v / y][w / x]ph)))
49	24, 48	bitr4 176	. 2 |- (ph <-> E.z(z = <.x, y>. /\ E.xE.y(z = <.x, y>. /\ ph