Theorem opabid2 3262

Description: A relation expressed as an ordered pair abstraction.

Assertion

Ref	Expression
opabid2	|- (Rel A -> {<.x, y>. | <.x, y>. e. A} = A)

Distinct variable group:   x,y,A

Proof of Theorem opabid2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		visset 1809	. . . 4 |- z e. V
2		visset 1809	. . . 4 |- w e. V
3		opeq1 2483	. . . . 5 |- (x = z -> <.x, y>. = <.z, y>.)
4	3	eleq1d 1537	. . . 4 |- (x = z -> (<.x, y>. e. A <-> <.z, y>. e. A))
5		opeq2 2484	. . . . 5 |- (y = w -> <.z, y>. = <.z, w>.)
6	5	eleq1d 1537	. . . 4 |- (y = w -> (<.z, y>. e. A <-> <.z, w>. e. A))
7	1, 2, 4, 6	opelopab 2815	. . 3 |- (<.z, w>. e. {<.x, y>. | <.x, y>. e. A} <-> <.z, w>. e. A)
8	7	gen2 981	. 2 |- A.zA.w(<.z, w>. e. {<.x, y>. | <.x, y>. e. A} <-> <.z, w>. e. A)
9		relopab 3261	. . 3 |- Rel {<.x, y>. | <.x, y>. e. A}
10		eqrel 3245	. . 3 |- ((Rel {<.x, y>. | <.x, y>. e. A} /\ Rel A) -> ({<.x, y>. | <.x, y>. e. A} = A <-> A.zA.w(<.z, w>. e. {<.x, y>. | <.x, y>. e. A} <-> <.z, w>. e. A)))
11	9, 10	mpan 694	. 2 |- (Rel A -> ({<.x, y>. | <.x, y>. e. A} = A <-> A.zA.w(<.z, w>. e. {<.x, y>. | <.x, y>. e. A} <-> <.z, w>. e. A)))
12	8, 11	mpbiri 194	1 |- (Rel A -> {<.x, y>. | <.x, y>. e. A} = A)

Syntax hints:   -> wi 3   <-> wb 146  A.wal 952   = wceq 954   e. wcel 956  <.cop 2407  {copab 2661  Rel wrel 3170

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 960  ax-gen 961  ax-8 962  ax-10 964  ax-11 965  ax-12 966  ax-13 967  ax-14 968  ax-17 969  ax-4 971  ax-5o 973  ax-6o 976  ax-9o 1121  ax-10o 1138  ax-16 1208  ax-11o 1216  ax-ext 1457  ax-sep 2698  ax-pow 2737  ax-pr 2774

This theorem depends on definitions:  df-bi 147  df-or 224  df-an 225  df-ex 979  df-sb 1170  df-eu 1380  df-mo 1381  df-clab 1462  df-cleq 1467  df-clel 1470  df-ne 1584  df-v 1808  df-dif 2045  df-un 2046  df-in 2047  df-ss 2049  df-nul 2277  df-pw 2398  df-sn 2408  df-pr 2409  df-op 2412  df-opab 2662  df-xp 3179  df-rel 3180

Copyright terms: Public domain