Theorem opabn0 2830

Description: Non-empty ordered pair class abstraction.

Assertion

Ref	Expression
opabn0	|- ({<.x, y>. | ph} =/= (/) <-> E.xE.yph)

Proof of Theorem opabn0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ne0 2292	. 2 |- ({<.x, y>. | ph} =/= (/) <-> E.z z e. {<.x, y>. | ph})
2		elopab 2817	. . 3 |- (z e. {<.x, y>. | ph} <-> E.xE.y(z = <.x, y>. /\ ph))
3	2	exbii 1053	. 2 |- (E.z z e. {<.x, y>. | ph} <-> E.zE.xE.y(z = <.x, y>. /\ ph))
4		exrot3 1101	. . 3 |- (E.zE.xE.y(z = <.x, y>. /\ ph) <-> E.xE.yE.z(z = <.x, y>. /\ ph))
5		19.41v 1307	. . . . 5 |- (E.z(z = <.x, y>. /\ ph) <-> (E.z z = <.x, y>. /\ ph))
6		opex 2788	. . . . . 6 |- <.x, y>. e. V
7	6	isseti 1818	. . . . 5 |- E.z z = <.x, y>.
8	5, 7	mpbiran 730	. . . 4 |- (E.z(z = <.x, y>. /\ ph) <-> ph)
9	8	2exbii 1054	. . 3 |- (E.xE.yE.z(z = <.x, y>. /\ ph) <-> E.xE.yph)
10	4, 9	bitr 173	. 2 |- (E.zE.xE.y(z = <.x, y>. /\ ph) <-> E.xE.yph)
11	1, 3, 10	3bitr 177	1 |- ({<.x, y>. | ph} =/= (/) <-> E.xE.yph)

Syntax hints:   <-> wb 146   /\ wa 223   = wceq 958   e. wcel 960  E.wex 982   =/= wne 1588  (/)c0 2283  <.cop 2415  {copab 2671

This theorem is referenced by:  bcthlem14 8009

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 964  ax-gen 965  ax-8 966  ax-10 968  ax-11 969  ax-12 970  ax-13 971  ax-14 972  ax-17 973  ax-4 975  ax-5o 977  ax-6o 980  ax-9o 1125  ax-10o 1142  ax-16 1212  ax-11o 1220  ax-ext 1462  ax-sep 2708  ax-pow 2748  ax-pr 2785

This theorem depends on definitions:  df-bi 147  df-or 224  df-an 225  df-ex 983  df-sb 1174  df-eu 1384  df-mo 1385  df-clab 1467  df-cleq 1472  df-clel 1475  df-ne 1590  df-v 1815  df-dif 2052  df-un 2053  df-in 2054  df-ss 2056  df-nul 2284  df-pw 2406  df-sn 2416  df-pr 2417  df-op 2420  df-opab 2672

Copyright terms: Public domain