Theorem opabsb 2777

Description: The law of concretion in terms of substitutions.

Assertion

Ref	Expression
opabsb	|- (<.z, w>. e. {<.x, y>. | ph} <-> [w / y][z / x]ph)

Distinct variable groups:   x,y,z   x,w,y

Proof of Theorem opabsb

Step	Hyp	Ref	Expression
1		a9e 1112	. 2 |- E.y y = w
2		ax-17 1190	. . . . 5 |- (v e. <.z, w>. -> A.y v e. <.z, w>.)
3		hbopab2 2776	. . . . 5 |- (v e. {<.x, y>. | ph} -> A.y v e. {<.x, y>. | ph})
4	2, 3	hbel 1542	. . . 4 |- (<.z, w>. e. {<.x, y>. | ph} -> A.y<.z, w>. e. {<.x, y>. | ph})
5		hbs1 1314	. . . 4 |- ([w / y][z / x]ph -> A.y[w / y][z / x]ph)
6	4, 5	hbbi 986	. . 3 |- ((<.z, w>. e. {<.x, y>. | ph} <-> [w / y][z / x]ph) -> A.y(<.z, w>. e. {<.x, y>. | ph} <-> [w / y][z / x]ph))
7		a9e 1112	. . . 4 |- E.x x = z
8		ax-17 1190	. . . . . 6 |- (y = w -> A.x y = w)
9		ax-17 1190	. . . . . . . 8 |- (v e. <.z, w>. -> A.x v e. <.z, w>.)
10		hbopab1 2775	. . . . . . . 8 |- (v e. {<.x, y>. | ph} -> A.x v e. {<.x, y>. | ph})
11	9, 10	hbel 1542	. . . . . . 7 |- (<.z, w>. e. {<.x, y>. | ph} -> A.x<.z, w>. e. {<.x, y>. | ph})
12		hbs1 1314	. . . . . . . 8 |- ([z / x]ph -> A.x[z / x]ph)
13	12	hbsb 1315	. . . . . . 7 |- ([w / y][z / x]ph -> A.x[w / y][z / x]ph)
14	11, 13	hbbi 986	. . . . . 6 |- ((<.z, w>. e. {<.x, y>. | ph} <-> [w / y][z / x]ph) -> A.x(<.z, w>. e. {<.x, y>. | ph} <-> [w / y][z / x]ph))
15	8, 14	hbim 983	. . . . 5 |- ((y = w -> (<.z, w>. e. {<.x, y>. | ph} <-> [w / y][z / x]ph)) -> A.x(y = w -> (<.z, w>. e. {<.x, y>. | ph} <-> [w / y][z / x]ph)))
16		opeq12 2458	. . . . . . . . 9 |- ((x = z /\ y = w) -> <.x, y>. = <.z, w>.)
17	16	eleq1d 1516	. . . . . . . 8 |- ((x = z /\ y = w) -> (<.x, y>. e. {<.x, y>. | ph} <-> <.z, w>. e. {<.x, y>. | ph}))
18		opabid 2772	. . . . . . . 8 |- (<.x, y>. e. {<.x, y>. | ph} <-> ph)
19	17, 18	syl5bbr 532	. . . . . . 7 |- ((x = z /\ y = w) -> (ph <-> <.z, w>. e. {<.x, y>. | ph}))
20		sbequ12 1164	. . . . . . . 8 |- (x = z -> (ph <-> [z / x]ph))
21		sbequ12 1164	. . . . . . . 8 |- (y = w -> ([z / x]ph <-> [w / y][z / x]ph))
22	20, 21	sylan9bb 538	. . . . . . 7 |- ((x = z /\ y = w) -> (ph <-> [w / y][z / x]ph))
23	19, 22	bitr3d 528	. . . . . 6 |- ((x = z /\ y = w) -> (<.z, w>. e. {<.x, y>. | ph} <-> [w / y][z / x]ph))
24	23	ex 373	. . . . 5 |- (x = z -> (y = w -> (<.z, w>. e. {<.x, y>. | ph} <-> [w / y][z / x]ph)))
25	15, 24	19.23ai 1040	. . . 4 |- (E.x x = z -> (y = w -> (<.z, w>. e. {<.x, y>. | ph} <-> [w / y][z / x]ph)))
26	7, 25	ax-mp 7	. . 3 |- (y = w -> (<.z, w>. e. {<.x, y>. | ph} <-> [w / y][z / x]ph))
27	6, 26	19.23ai 1040	. 2 |- (E.y y = w -> (<.z, w>. e. {<.x, y>. | ph} <-> [w / y][z / x]ph))
28	1, 27	ax-mp 7	1 |- (<.z, w>. e. {<.x, y>. | ph} <-> [w / y][z / x]ph)

Syntax hints:   -> wi 3   <-> wb 146   /\ wa 223  E.wex 956   = wceq 1099   e. wcel 1105  [wsbc 1153  <.cop 2382  {copab 2634

This theorem is referenced by:  brabsb 2778  inopab 3230  isarep1 3517

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-4 951  ax-5 952  ax-6 953  ax-7 954  ax-gen 955  ax-8 1101  ax-9 1102  ax-10 1103  ax-12 1104  ax-13 1107  ax-14 1108  ax-11 1180  ax-17 1190  ax-16 1194  ax-11o 1202  ax-ext 1436  ax-sep 2671  ax-pow 2710  ax-pr 2747

This theorem depends on definitions:  df-bi 147  df-or 224  df-an 225  df-ex 957  df-sb 1155  df-eu 1359  df-mo 1360  df-clab 1441  df-cleq 1446  df-clel 1449  df-ne 1563  df-v 1787  df-dif 2020  df-un 2021  df-in 2022  df-ss 2024  df-nul 2252  df-pw 2373  df-sn 2383  df-pr 2384  df-op 2387  df-opab 2635

Copyright terms: Public domain