Theorem opabssxp 3230

Description: An abstraction relation is a subset of a related cross product.

Assertion

Ref	Expression
opabssxp	|- {<.x, y>. | ((x e. A /\ y e. B) /\ ph)} (_ (A X. B)

Distinct variable groups:   x,y,A   x,B,y

Proof of Theorem opabssxp

Step	Hyp	Ref	Expression
1		pm3.26 319	. . 3 |- (((x e. A /\ y e. B) /\ ph) -> (x e. A /\ y e. B))
2	1	ssopab2i 2819	. 2 |- {<.x, y>. | ((x e. A /\ y e. B) /\ ph)} (_ {<.x, y>. | (x e. A /\ y e. B)}
3		df-xp 3180	. 2 |- (A X. B) = {<.x, y>. | (x e. A /\ y e. B)}
4	2, 3	sseqtr4 2091	1 |- {<.x, y>. | ((x e. A /\ y e. B) /\ ph)} (_ (A X. B)

Syntax hints:   /\ wa 223   e. wcel 957   (_ wss 2044  {copab 2662   X. cxp 3164

This theorem is referenced by:  dmoprabss 3998  ecopoprdm 4302  ecopoprsym 4303  ecopoprtrn 4304  enqex 5031  ltrelpq 5034  ltrelpr 5084  enrex 5161  ltrelsr 5163  ltrelre 5235  lmfval 7887  bcthlem12 7972  bcthlem15 7975  dmhmph 10478  rnhmph 10479

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 961  ax-gen 962  ax-8 963  ax-10 965  ax-11 966  ax-12 967  ax-13 968  ax-14 969  ax-17 970  ax-4 972  ax-5o 974  ax-6o 977  ax-9o 1122  ax-10o 1139  ax-16 1209  ax-11o 1217  ax-ext 1458  ax-sep 2699  ax-pow 2738  ax-pr 2775

This theorem depends on definitions:  df-bi 147  df-or 224  df-an 225  df-ex 980  df-sb 1171  df-eu 1381  df-mo 1382  df-clab 1463  df-cleq 1468  df-clel 1471  df-ne 1585  df-v 1809  df-dif 2046  df-un 2047  df-in 2048  df-ss 2050  df-nul 2278  df-pw 2399  df-sn 2409  df-pr 2410  df-op 2413  df-opab 2663  df-xp 3180

Copyright terms: Public domain