Theorem opelcog 3296

Description: Ordered pair membership in a composition.

Assertion

Ref	Expression
opelcog	|- ((A e. R /\ B e. S) -> (<.A, B>. e. (C o. D) <-> E.x(<.A, x>. e. D /\ <.x, B>. e. C)))

Distinct variable groups:   x,A   x,B   x,C   x,D

Proof of Theorem opelcog

Step	Hyp	Ref	Expression
1		opeq1 2491	. . . . 5 |- (y = A -> <.y, z>. = <.A, z>.)
2	1	eleq1d 1543	. . . 4 |- (y = A -> (<.y, z>. e. (C o. D) <-> <.A, z>. e. (C o. D)))
3		breq1 2627	. . . . . 6 |- (y = A -> (yDx <-> ADx))
4	3	anbi1d 619	. . . . 5 |- (y = A -> ((yDx /\ xCz) <-> (ADx /\ xCz)))
5	4	exbidv 1281	. . . 4 |- (y = A -> (E.x(yDx /\ xCz) <-> E.x(ADx /\ xCz)))
6	2, 5	bibi12d 631	. . 3 |- (y = A -> ((<.y, z>. e. (C o. D) <-> E.x(yDx /\ xCz)) <-> (<.A, z>. e. (C o. D) <-> E.x(ADx /\ xCz))))
7		opeq2 2492	. . . . 5 |- (z = B -> <.A, z>. = <.A, B>.)
8	7	eleq1d 1543	. . . 4 |- (z = B -> (<.A, z>. e. (C o. D) <-> <.A, B>. e. (C o. D)))
9		breq2 2628	. . . . . 6 |- (z = B -> (xCz <-> xCB))
10	9	anbi2d 618	. . . . 5 |- (z = B -> ((ADx /\ xCz) <-> (ADx /\ xCB)))
11	10	exbidv 1281	. . . 4 |- (z = B -> (E.x(ADx /\ xCz) <-> E.x(ADx /\ xCB)))
12	8, 11	bibi12d 631	. . 3 |- (z = B -> ((<.A, z>. e. (C o. D) <-> E.x(ADx /\ xCz)) <-> (<.A, B>. e. (C o. D) <-> E.x(ADx /\ xCB))))
13		visset 1816	. . . 4 |- y e. V
14		visset 1816	. . . 4 |- z e. V
15	13, 14	opelco 3294	. . 3 |- (<.y, z>. e. (C o. D) <-> E.x(yDx /\ xCz))
16	6, 12, 15	vtocl2g 1853	. 2 |- ((A e. R /\ B e. S) -> (<.A, B>. e. (C o. D) <-> E.x(ADx /\ xCB)))
17		df-br 2625	. . . 4 |- (ADx <-> <.A, x>. e. D)
18		df-br 2625	. . . 4 |- (xCB <-> <.x, B>. e. C)
19	17, 18	anbi12i 484	. . 3 |- ((ADx /\ xCB) <-> (<.A, x>. e. D /\ <.x, B>. e. C))
20	19	exbii 1053	. 2 |- (E.x(ADx /\ xCB) <-> E.x(<.A, x>. e. D /\ <.x, B>. e. C))
21	16, 20	syl6bb 538	1 |- ((A e. R /\ B e. S) -> (<.A, B>. e. (C o. D) <-> E.x(<.A, x>. e. D /\ <.x, B>. e. C)))

Syntax hints:   -> wi 3   <-> wb 146   /\ wa 223   = wceq 958   e. wcel 960  E.wex 982  <.cop 2415   class class class wbr 2624   o. ccom 3180

This theorem is referenced by:  fcoi1 3651  fcoi2 3652  dmfco 3779  fvco 3780

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 964  ax-gen 965  ax-8 966  ax-10 968  ax-11 969  ax-12 970  ax-13 971  ax-14 972  ax-17 973  ax-4 975  ax-5o 977  ax-6o 980  ax-9o 1125  ax-10o 1142  ax-16 1212  ax-11o 1220  ax-ext 1462  ax-sep 2708  ax-pow 2748  ax-pr 2785

This theorem depends on definitions:  df-bi 147  df-or 224  df-an 225  df-ex 983  df-sb 1174  df-eu 1384  df-mo 1385  df-clab 1467  df-cleq 1472  df-clel 1475  df-ne 1590  df-v 1815  df-dif 2052  df-un 2053  df-in 2054  df-ss 2056  df-nul 2284  df-pw 2406  df-sn 2416  df-pr 2417  df-op 2420  df-br 2625  df-opab 2672  df-co 3193

Copyright terms: Public domain