Theorem opeldm 3271

Description: Membership of first of an ordered pair in a domain.

Hypothesis

Ref	Expression
opeldm.1	|- A e. V

Assertion

Ref	Expression
opeldm	|- (<.A, B>. e. C -> A e. dom C)

Proof of Theorem opeldm

Step	Hyp	Ref	Expression
1		opeq2 2457	. . . . 5 |- (y = B -> <.A, y>. = <.A, B>.)
2	1	eleq1d 1516	. . . 4 |- (y = B -> (<.A, y>. e. C <-> <.A, B>. e. C))
3	2	cla4egv 1838	. . 3 |- (B e. V -> (<.A, B>. e. C -> E.y<.A, y>. e. C))
4		opeldm.1	. . . 4 |- A e. V
5	4	eldm2 3265	. . 3 |- (A e. dom C <-> E.y<.A, y>. e. C)
6	3, 5	syl6ibr 213	. 2 |- (B e. V -> (<.A, B>. e. C -> A e. dom C))
7		opprc2 2468	. . . 4 |- (-. B e. V -> <.A, B>. = <.A, A>.)
8	7	eleq1d 1516	. . 3 |- (-. B e. V -> (<.A, B>. e. C <-> <.A, A>. e. C))
9		opeq2 2457	. . . . . 6 |- (y = A -> <.A, y>. = <.A, A>.)
10	9	eleq1d 1516	. . . . 5 |- (y = A -> (<.A, y>. e. C <-> <.A, A>. e. C))
11	4, 10	cla4ev 1842	. . . 4 |- (<.A, A>. e. C -> E.y<.A, y>. e. C)
12	11, 5	sylibr 200	. . 3 |- (<.A, A>. e. C -> A e. dom C)
13	8, 12	syl6bi 214	. 2 |- (-. B e. V -> (<.A, B>. e. C -> A e. dom C))
14	6, 13	pm2.61i 126	1 |- (<.A, B>. e. C -> A e. dom C)

Syntax hints:  -. wn 2   -> wi 3  E.wex 956   = wceq 1099   e. wcel 1105  Vcvv 1786  <.cop 2382  dom cdm 3133

This theorem is referenced by:  breldm 3272  elreldm 3297  relssres 3343  imadmrn 3365  funssres 3492  funun 3494  fnrnfv 3698  eqfnfv 3736  tz7.48-1 3895  ecopoprdm 4247

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-4 951  ax-5 952  ax-6 953  ax-7 954  ax-gen 955  ax-8 1101  ax-9 1102  ax-10 1103  ax-12 1104  ax-17 1190  ax-16 1194  ax-11o 1202  ax-ext 1436

This theorem depends on definitions:  df-bi 147  df-or 224  df-an 225  df-ex 957  df-sb 1155  df-clab 1441  df-cleq 1446  df-clel 1449  df-ne 1563  df-v 1787  df-dif 2020  df-un 2021  df-nul 2252  df-sn 2383  df-pr 2384  df-op 2387  df-br 2588  df-dm 3151

Copyright terms: Public domain