MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  opelres Unicode version

Theorem opelres 5142
Description: Ordered pair membership in a restriction. Exercise 13 of [TakeutiZaring] p. 25. (Contributed by NM, 13-Nov-1995.)
Hypothesis
Ref Expression
opelres.1  |-  B  e. 
_V
Assertion
Ref Expression
opelres  |-  ( <. A ,  B >.  e.  ( C  |`  D )  <-> 
( <. A ,  B >.  e.  C  /\  A  e.  D ) )

Proof of Theorem opelres
StepHypRef Expression
1 df-res 4881 . . 3  |-  ( C  |`  D )  =  ( C  i^i  ( D  X.  _V ) )
21eleq2i 2499 . 2  |-  ( <. A ,  B >.  e.  ( C  |`  D )  <->  <. A ,  B >.  e.  ( C  i^i  ( D  X.  _V ) ) )
3 elin 3522 . 2  |-  ( <. A ,  B >.  e.  ( C  i^i  ( D  X.  _V ) )  <-> 
( <. A ,  B >.  e.  C  /\  <. A ,  B >.  e.  ( D  X.  _V )
) )
4 opelres.1 . . . 4  |-  B  e. 
_V
5 opelxp 4899 . . . 4  |-  ( <. A ,  B >.  e.  ( D  X.  _V ) 
<->  ( A  e.  D  /\  B  e.  _V ) )
64, 5mpbiran2 886 . . 3  |-  ( <. A ,  B >.  e.  ( D  X.  _V ) 
<->  A  e.  D )
76anbi2i 676 . 2  |-  ( (
<. A ,  B >.  e.  C  /\  <. A ,  B >.  e.  ( D  X.  _V ) )  <-> 
( <. A ,  B >.  e.  C  /\  A  e.  D ) )
82, 3, 73bitri 263 1  |-  ( <. A ,  B >.  e.  ( C  |`  D )  <-> 
( <. A ,  B >.  e.  C  /\  A  e.  D ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    <-> wb 177    /\ wa 359    e. wcel 1725   _Vcvv 2948    i^i cin 3311   <.cop 3809    X. cxp 4867    |` cres 4871
This theorem is referenced by:  brres  5143  opelresg  5144  opres  5146  dmres  5158  elres  5172  relssres  5174  resiexg  5179  iss  5180  asymref  5241  ssrnres  5300  cnvresima  5350  ressn  5399  funssres  5484  fcnvres  5611  dprd2dlem1  15587  dprd2da  15588  hausdiag  17665  hauseqlcld  17666  ovoliunlem1  19386  h2hlm  22471  relexpindlem  25127
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1555  ax-5 1566  ax-17 1626  ax-9 1666  ax-8 1687  ax-14 1729  ax-6 1744  ax-7 1749  ax-11 1761  ax-12 1950  ax-ext 2416  ax-sep 4322  ax-nul 4330  ax-pr 4395
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3an 938  df-tru 1328  df-ex 1551  df-nf 1554  df-sb 1659  df-clab 2422  df-cleq 2428  df-clel 2431  df-nfc 2560  df-ne 2600  df-ral 2702  df-rex 2703  df-rab 2706  df-v 2950  df-dif 3315  df-un 3317  df-in 3319  df-ss 3326  df-nul 3621  df-if 3732  df-sn 3812  df-pr 3813  df-op 3815  df-opab 4259  df-xp 4875  df-res 4881
  Copyright terms: Public domain W3C validator