MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  opelres Unicode version

Theorem opelres 4959
Description: Ordered pair membership in a restriction. Exercise 13 of [TakeutiZaring] p. 25. (Contributed by NM, 13-Nov-1995.)
Hypothesis
Ref Expression
opelres.1  |-  B  e. 
_V
Assertion
Ref Expression
opelres  |-  ( <. A ,  B >.  e.  ( C  |`  D )  <-> 
( <. A ,  B >.  e.  C  /\  A  e.  D ) )

Proof of Theorem opelres
StepHypRef Expression
1 df-res 4700 . . 3  |-  ( C  |`  D )  =  ( C  i^i  ( D  X.  _V ) )
21eleq2i 2348 . 2  |-  ( <. A ,  B >.  e.  ( C  |`  D )  <->  <. A ,  B >.  e.  ( C  i^i  ( D  X.  _V ) ) )
3 elin 3359 . 2  |-  ( <. A ,  B >.  e.  ( C  i^i  ( D  X.  _V ) )  <-> 
( <. A ,  B >.  e.  C  /\  <. A ,  B >.  e.  ( D  X.  _V )
) )
4 opelres.1 . . . 4  |-  B  e. 
_V
5 opelxp 4718 . . . 4  |-  ( <. A ,  B >.  e.  ( D  X.  _V ) 
<->  ( A  e.  D  /\  B  e.  _V ) )
64, 5mpbiran2 887 . . 3  |-  ( <. A ,  B >.  e.  ( D  X.  _V ) 
<->  A  e.  D )
76anbi2i 677 . 2  |-  ( (
<. A ,  B >.  e.  C  /\  <. A ,  B >.  e.  ( D  X.  _V ) )  <-> 
( <. A ,  B >.  e.  C  /\  A  e.  D ) )
82, 3, 73bitri 264 1  |-  ( <. A ,  B >.  e.  ( C  |`  D )  <-> 
( <. A ,  B >.  e.  C  /\  A  e.  D ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    <-> wb 178    /\ wa 360    e. wcel 1685   _Vcvv 2789    i^i cin 3152   <.cop 3644    X. cxp 4686    |` cres 4690
This theorem is referenced by:  brres  4960  opelresg  4961  opres  4963  dmres  4975  elres  4989  relssres  4991  resiexg  4996  iss  4997  asymref  5058  ssrnres  5115  cnvresima  5160  ressn  5209  funssres  5259  fcnvres  5383  dprd2dlem1  15270  dprd2da  15271  hausdiag  17333  hauseqlcld  17334  ovoliunlem1  18855  h2hlm  21552  relexpindlem  23440  restidsing  24474  cnvresimaOLD  25625
This theorem was proved from axioms:  ax-1 7  ax-2 8  ax-3 9  ax-mp 10  ax-gen 1534  ax-5 1545  ax-17 1604  ax-9 1637  ax-8 1645  ax-14 1689  ax-6 1704  ax-7 1709  ax-11 1716  ax-12 1867  ax-ext 2265  ax-sep 4142  ax-nul 4150  ax-pr 4213
This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3an 938  df-tru 1312  df-ex 1530  df-nf 1533  df-sb 1632  df-clab 2271  df-cleq 2277  df-clel 2280  df-nfc 2409  df-ne 2449  df-ral 2549  df-rex 2550  df-rab 2553  df-v 2791  df-dif 3156  df-un 3158  df-in 3160  df-ss 3167  df-nul 3457  df-if 3567  df-sn 3647  df-pr 3648  df-op 3650  df-opab 4079  df-xp 4694  df-res 4700
  Copyright terms: Public domain W3C validator