Theorem opelres 3372

Description: Ordered pair membership in a restriction. Exercise 13 of [TakeutiZaring] p. 25.

Hypothesis

Ref	Expression
opelres.1	|- B e. V

Assertion

Ref	Expression
opelres	|- (<.A, B>. e. (C |` D) <-> (<.A, B>. e. C /\ A e. D))

Proof of Theorem opelres

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-res 3190	. . 3 |- (C |` D) = (C i^i (D X. V))
2	1	eleq2i 1538	. 2 |- (<.A, B>. e. (C |` D) <-> <.A, B>. e. (C i^i (D X. V)))
3		elin 2207	. 2 |- (<.A, B>. e. (C i^i (D X. V)) <-> (<.A, B>. e. C /\ <.A, B>. e. (D X. V)))
4		opelres.1	. . . . 5 |- B e. V
5	4	opelxp 3214	. . . 4 |- (<.A, B>. e. (D X. V) <-> (A e. D /\ B e. V))
6	5, 4	mpbiran2 729	. . 3 |- (<.A, B>. e. (D X. V) <-> A e. D)
7	6	anbi2i 480	. 2 |- ((<.A, B>. e. C /\ <.A, B>. e. (D X. V)) <-> (<.A, B>. e. C /\ A e. D))
8	2, 3, 7	3bitr 177	1 |- (<.A, B>. e. (C |` D) <-> (<.A, B>. e. C /\ A e. D))

Syntax hints:   <-> wb 146   /\ wa 223   e. wcel 958  Vcvv 1811   i^i cin 2046  <.cop 2411   X. cxp 3168   |` cres 3172

This theorem is referenced by:  brres 3373  opelresg 3374  opres 3375  dmres 3380  relssres 3392  resiexg 3396  iss 3397  asymref 3439  ssrnres 3481  rninxp 3482  funssres 3552  fcoi1 3645  fcoi2 3646  fcnvres 3648

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 962  ax-gen 963  ax-8 964  ax-10 966  ax-11 967  ax-12 968  ax-13 969  ax-14 970  ax-17 971  ax-4 973  ax-5o 975  ax-6o 978  ax-9o 1123  ax-10o 1140  ax-16 1210  ax-11o 1218  ax-ext 1459  ax-sep 2703  ax-pow 2742  ax-pr 2779

This theorem depends on definitions:  df-bi 147  df-or 224  df-an 225  df-ex 981  df-sb 1172  df-eu 1382  df-mo 1383  df-clab 1464  df-cleq 1469  df-clel 1472  df-ne 1587  df-v 1812  df-dif 2049  df-un 2050  df-in 2051  df-ss 2053  df-nul 2281  df-pw 2402  df-sn 2412  df-pr 2413  df-op 2416  df-opab 2667  df-xp 3184  df-res 3190

Copyright terms: Public domain