Theorem opeluu 2885

Description: Each member of an ordered pair belongs to the union of the union of a class to which the ordered pair belongs. Lemma 3D of [Enderton] p. 41.

Assertion

Ref	Expression
opeluu	|- (<.x, y>. e. A -> (x e. U.U.A /\ y e. U.U.A))

Proof of Theorem opeluu

Step	Hyp	Ref	Expression
1		opi2 2791	. . . 4 |- {x, y} e. <.x, y>.
2		elunii 2512	. . . 4 |- (({x, y} e. <.x, y>. /\ <.x, y>. e. A) -> {x, y} e. U.A)
3	1, 2	mpan 697	. . 3 |- (<.x, y>. e. A -> {x, y} e. U.A)
4		visset 1816	. . . . 5 |- x e. V
5	4	pri1 2454	. . . 4 |- x e. {x, y}
6		elunii 2512	. . . 4 |- ((x e. {x, y} /\ {x, y} e. U.A) -> x e. U.U.A)
7	5, 6	mpan 697	. . 3 |- ({x, y} e. U.A -> x e. U.U.A)
8	3, 7	syl 10	. 2 |- (<.x, y>. e. A -> x e. U.U.A)
9		visset 1816	. . . . 5 |- y e. V
10	9	pri2 2455	. . . 4 |- y e. {x, y}
11		elunii 2512	. . . 4 |- ((y e. {x, y} /\ {x, y} e. U.A) -> y e. U.U.A)
12	10, 11	mpan 697	. . 3 |- ({x, y} e. U.A -> y e. U.U.A)
13	3, 12	syl 10	. 2 |- (<.x, y>. e. A -> y e. U.U.A)
14	8, 13	jca 288	1 |- (<.x, y>. e. A -> (x e. U.U.A /\ y e. U.U.A))

Syntax hints:   -> wi 3   /\ wa 223   e. wcel 960  {cpr 2414  <.cop 2415  U.cuni 2507

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 964  ax-gen 965  ax-8 966  ax-10 968  ax-11 969  ax-12 970  ax-13 971  ax-14 972  ax-17 973  ax-4 975  ax-5o 977  ax-6o 980  ax-9o 1125  ax-10o 1142  ax-16 1212  ax-11o 1220  ax-ext 1462  ax-sep 2708  ax-pow 2748  ax-pr 2785

This theorem depends on definitions:  df-bi 147  df-or 224  df-an 225  df-ex 983  df-sb 1174  df-eu 1384  df-mo 1385  df-clab 1467  df-cleq 1472  df-clel 1475  df-ne 1590  df-v 1815  df-dif 2052  df-un 2053  df-in 2054  df-ss 2056  df-nul 2284  df-pw 2406  df-sn 2416  df-pr 2417  df-op 2420  df-uni 2508

Copyright terms: Public domain