Theorem opelxpi 3207

Description: Ordered pair membership in a cross product (implication).

Assertion

Ref	Expression
opelxpi	|- ((A e. C /\ B e. D) -> <.A, B>. e. (C X. D))

Proof of Theorem opelxpi

Step	Hyp	Ref	Expression
1		opelxpg 3206	. . 3 |- (B e. D -> (<.A, B>. e. (C X. D) <-> (A e. C /\ B e. D)))
2	1	biimprd 154	. 2 |- (B e. D -> ((A e. C /\ B e. D) -> <.A, B>. e. (C X. D)))
3	2	anabsi7 496	1 |- ((A e. C /\ B e. D) -> <.A, B>. e. (C X. D))

Syntax hints:   -> wi 3   /\ wa 223   e. wcel 955  <.cop 2401   X. cxp 3158

This theorem is referenced by:  opbrop 3228  onnev 3232  relsn 3244  oprabval3 4015  oprvalres 4018  foprrn 4020  fnoprvalrn 4023  oprvalconst2 4025  ecopqsi 4277  brecop 4290  eceqopreq 4297  th3q 4301  unidom 4780  addpiord 4984  mulpiord 4985  enqeceq 5019  1q 5029  addclpq 5030  mulclpq 5032  enreceq 5149  0r 5161  1r 5162  m1r 5163  addclsr 5164  mulclsr 5165  axaddopr 5237  axmulopr 5238  xrlenltt 5473  ruclem13 7465  cnmetdval 7841  remetdval 7847  xplmi 7907  xplm 7909  xpcn 7910  oprcn 7911  imsdval 8255  elo 10345  eloi 10503

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 959  ax-gen 960  ax-8 961  ax-10 963  ax-11 964  ax-12 965  ax-13 966  ax-14 967  ax-17 968  ax-4 970  ax-5o 972  ax-6o 975  ax-9o 1119  ax-10o 1136  ax-16 1206  ax-11o 1213  ax-ext 1452  ax-sep 2693  ax-pow 2732  ax-pr 2769

This theorem depends on definitions:  df-bi 147  df-or 224  df-an 225  df-ex 978  df-sb 1168  df-eu 1375  df-mo 1376  df-clab 1457  df-cleq 1462  df-clel 1465  df-ne 1579  df-v 1803  df-dif 2039  df-un 2040  df-in 2041  df-ss 2043  df-nul 2271  df-pw 2392  df-sn 2402  df-pr 2403  df-op 2406  df-opab 2657  df-xp 3174

Copyright terms: Public domain