MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  opeq1 Structured version   Unicode version

Theorem opeq1 4008
Description: Equality theorem for ordered pairs. (Contributed by NM, 25-Jun-1998.) (Revised by Mario Carneiro, 26-Apr-2015.)
Assertion
Ref Expression
opeq1  |-  ( A  =  B  ->  <. A ,  C >.  =  <. B ,  C >. )

Proof of Theorem opeq1
StepHypRef Expression
1 eleq1 2502 . . . 4  |-  ( A  =  B  ->  ( A  e.  _V  <->  B  e.  _V ) )
21anbi1d 687 . . 3  |-  ( A  =  B  ->  (
( A  e.  _V  /\  C  e.  _V )  <->  ( B  e.  _V  /\  C  e.  _V )
) )
3 sneq 3849 . . . 4  |-  ( A  =  B  ->  { A }  =  { B } )
4 preq1 3907 . . . 4  |-  ( A  =  B  ->  { A ,  C }  =  { B ,  C }
)
53, 4preq12d 3915 . . 3  |-  ( A  =  B  ->  { { A } ,  { A ,  C } }  =  { { B } ,  { B ,  C } } )
6 eqidd 2443 . . 3  |-  ( A  =  B  ->  (/)  =  (/) )
72, 5, 6ifbieq12d 3785 . 2  |-  ( A  =  B  ->  if ( ( A  e. 
_V  /\  C  e.  _V ) ,  { { A } ,  { A ,  C } } ,  (/) )  =  if ( ( B  e.  _V  /\  C  e.  _V ) ,  { { B } ,  { B ,  C } } ,  (/) ) )
8 dfopif 4005 . 2  |-  <. A ,  C >.  =  if ( ( A  e.  _V  /\  C  e.  _V ) ,  { { A } ,  { A ,  C } } ,  (/) )
9 dfopif 4005 . 2  |-  <. B ,  C >.  =  if ( ( B  e.  _V  /\  C  e.  _V ) ,  { { B } ,  { B ,  C } } ,  (/) )
107, 8, 93eqtr4g 2499 1  |-  ( A  =  B  ->  <. A ,  C >.  =  <. B ,  C >. )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 360    = wceq 1653    e. wcel 1727   _Vcvv 2962   (/)c0 3613   ifcif 3763   {csn 3838   {cpr 3839   <.cop 3841
This theorem is referenced by:  opeq12  4010  opeq1i  4011  opeq1d  4014  oteq1  4017  breq1  4240  cbvopab1  4303  cbvopab1s  4305  opthg  4465  eqvinop  4470  opelopabsb  4494  opelxp  4937  elvvv  4966  opabid2  5033  opeliunxp2  5042  elsnres  5211  elimasng  5259  dmsnopg  5370  cnvsng  5384  elxp4  5386  elxp5  5387  funopg  5514  f1osng  5745  f1oprswap  5746  dmfco  5826  fvelrn  5895  fsng  5936  fprg  5944  fvsng  5956  funfvima3  6004  opabex3d  6018  opabex3  6019  oveq1  6117  oprabid  6134  dfoprab2  6150  cbvoprab1  6173  op1stg  6388  op2ndg  6389  dfoprab4f  6434  frxp  6485  tfrlem11  6678  omeu  6857  oeeui  6874  elixpsn  7130  fundmen  7209  xpsnen  7221  xpassen  7231  xpf1o  7298  unxpdomlem1  7342  dfac5lem1  8035  dfac5lem4  8038  axdc4lem  8366  nqereu  8837  mulcanenq  8868  archnq  8888  prlem934  8941  supsrlem  9017  supsr  9018  fsum2dlem  12585  vdwlem10  13389  imasaddfnlem  13784  catideu  13931  iscatd2  13937  catlid  13939  catpropd  13966  efgmval  15375  efgi  15382  vrgpval  15430  gsumcom2  15580  txkgen  17715  cnmpt21  17734  xkoinjcn  17750  txcon  17752  pt1hmeo  17869  cnextfvval  18127  divstgplem  18181  dvbsss  19820  drngoi  22026  isdivrngo  22050  isnvlem  22120  fprod2dlem  25335  br8  25410  br6  25411  br4  25412  eldm3  25416  dfdm5  25431  elfuns  25791  brimg  25813  brapply  25814  brrestrict  25825  dfrdg4  25826  axlowdim2  25930  axlowdim  25931  axcontlem10  25943  axcontlem12  25945  cgrdegen  25969  brofs  25970  cgrextend  25973  brifs  26008  ifscgr  26009  brcgr3  26011  brcolinear2  26023  colineardim1  26026  brfs  26044  idinside  26049  btwnconn1lem7  26058  btwnconn1lem11  26062  btwnconn1lem12  26063  brsegle  26073  outsideofeu  26096  fvray  26106  linedegen  26108  fvline  26109  dropab1  27664  el2xptp  28099  swrdccatin1  28263  swrdccat3blem  28276  0eusgraiff0rgra  28474  relopabVD  29111  dicelval3  32076  dihjatcclem4  32317
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1556  ax-5 1567  ax-17 1627  ax-9 1668  ax-8 1689  ax-6 1746  ax-7 1751  ax-11 1763  ax-12 1953  ax-ext 2423
This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3an 939  df-tru 1329  df-ex 1552  df-nf 1555  df-sb 1660  df-clab 2429  df-cleq 2435  df-clel 2438  df-nfc 2567  df-rab 2720  df-v 2964  df-dif 3309  df-un 3311  df-in 3313  df-ss 3320  df-nul 3614  df-if 3764  df-sn 3844  df-pr 3845  df-op 3847
  Copyright terms: Public domain W3C validator