Theorem opeq2 2484

Description: Equality theorem for ordered pairs.

Assertion

Ref	Expression
opeq2	|- (A = B -> <.C, A>. = <.C, B>.)

Proof of Theorem opeq2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		preq2 2445	. . 3 |- (A = B -> {C, A} = {C, B})
2		preq2 2445	. . 3 |- ({C, A} = {C, B} -> {{C}, {C, A}} = {{C}, {C, B}})
3	1, 2	syl 10	. 2 |- (A = B -> {{C}, {C, A}} = {{C}, {C, B}})
4		df-op 2412	. 2 |- <.C, A>. = {{C}, {C, A}}
5		df-op 2412	. 2 |- <.C, B>. = {{C}, {C, B}}
6	3, 4, 5	3eqtr4g 1528	1 |- (A = B -> <.C, A>. = <.C, B>.)

Syntax hints:   -> wi 3   = wceq 954  {csn 2405  {cpr 2406  <.cop 2407

This theorem is referenced by:  opeq12 2485  opeq2i 2487  opeq2d 2490  breq2 2618  cbvopab2v 2672  opthg 2783  opthgg 2784  eqvinop 2786  moop2 2796  opabid 2805  dfid3 2831  opelxpg 3211  opabid2 3262  opelcog 3285  dfdmf 3301  opeldm 3309  dfrnf 3342  elrn2 3343  opelresg 3366  iss 3389  elimasng 3419  intirr 3433  cnvopab 3437  elxp4 3445  elxp5 3446  funopg 3539  fnopabg 3607  fcoi2 3637  tz6.12f 3729  funopfvg 3743  funfvop 3794  fsn 3825  tfrlem11 3912  opreq2 3960  op2ndg 4078  2ndconst 4087  mapsnen 4416  xpsnen 4421  xpassen 4427  aceq3lem 4712  elreal 5230  seq1val 6257  dfseq0 6503  vcoprne 8150  isnvlem 8181  nvi 8185  isded 10549  dedi 10550  cmppfd 10558  iscat 10567  cati 10568

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 960  ax-gen 961  ax-8 962  ax-10 964  ax-12 966  ax-17 969  ax-4 971  ax-5o 973  ax-6o 976  ax-9o 1121  ax-10o 1138  ax-16 1208  ax-11o 1216  ax-ext 1457

This theorem depends on definitions:  df-bi 147  df-or 224  df-an 225  df-ex 979  df-sb 1170  df-clab 1462  df-cleq 1467  df-clel 1470  df-v 1808  df-un 2046  df-sn 2408  df-pr 2409  df-op 2412

Copyright terms: Public domain