Theorem opncld 7671

Description: The complement of an open set is closed.

Hypothesis

Ref	Expression
iscld.1	|- X = U.J

Assertion

Ref	Expression
opncld	|- ((J e. Top /\ S e. J) -> (X \ S) e. (Clsd` J))

Proof of Theorem opncld

Step	Hyp	Ref	Expression
1		pm3.27 323	. 2 |- ((J e. Top /\ S e. J) -> S e. J)
2		iscld.1	. . . 4 |- X = U.J
3	2	eltopss 7604	. . 3 |- ((J e. Top /\ S e. J) -> S (_ X)
4	2	isopn2 7670	. . 3 |- ((J e. Top /\ S (_ X) -> (S e. J <-> (X \ S) e. (Clsd` J)))
5	3, 4	syldan 469	. 2 |- ((J e. Top /\ S e. J) -> (S e. J <-> (X \ S) e. (Clsd` J)))
6	1, 5	mpbid 195	1 |- ((J e. Top /\ S e. J) -> (X \ S) e. (Clsd` J))

Syntax hints:   -> wi 3   <-> wb 146   /\ wa 223   = wceq 958   e. wcel 960   \ cdif 2047   (_ wss 2050  U.cuni 2507  ` cfv 3188  Topctop 7590  Clsdccld 7657

This theorem is referenced by:  clsval2 7682  elcls 7701  iscncl 7767

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 964  ax-gen 965  ax-8 966  ax-9 967  ax-10 968  ax-11 969  ax-12 970  ax-13 971  ax-14 972  ax-17 973  ax-4 975  ax-5o 977  ax-6o 980  ax-9o 1125  ax-10o 1142  ax-16 1212  ax-11o 1220  ax-ext 1462  ax-sep 2708  ax-pow 2748  ax-pr 2785  ax-un 2872

This theorem depends on definitions:  df-bi 147  df-or 224  df-an 225  df-ex 983  df-sb 1174  df-eu 1384  df-mo 1385  df-clab 1467  df-cleq 1472  df-clel 1475  df-ne 1590  df-rex 1653  df-rab 1655  df-v 1815  df-dif 2052  df-un 2053  df-in 2054  df-ss 2056  df-nul 2284  df-pw 2406  df-sn 2416  df-pr 2417  df-op 2420  df-uni 2508  df-br 2625  df-opab 2672  df-id 2841  df-xp 3190  df-rel 3191  df-cnv 3192  df-co 3193  df-dm 3194  df-rn 3195  df-res 3196  df-ima 3197  df-fun 3198  df-fv 3204  df-cld 7660

Copyright terms: Public domain