Theorem opnneiss 7729

Description: An open set is a neighborhood of any of its subsets.

Assertion

Ref	Expression
opnneiss	|- ((J e. Top /\ N e. J /\ S (_ N) -> N e. ((nei` J)` S))

Proof of Theorem opnneiss

Step	Hyp	Ref	Expression
1		3simp3 792	. 2 |- ((J e. Top /\ N e. J /\ S (_ N) -> S (_ N)
2		eqid 1478	. . . 4 |- U.J = U.J
3	2	opnneissb 7725	. . 3 |- ((J e. Top /\ N e. J /\ S (_ U.J) -> (S (_ N <-> N e. ((nei` J)` S)))
4		sstr 2075	. . . . . 6 |- ((S (_ N /\ N (_ U.J) -> S (_ U.J)
5	4	ancoms 438	. . . . 5 |- ((N (_ U.J /\ S (_ N) -> S (_ U.J)
6	2	eltopss 7604	. . . . 5 |- ((J e. Top /\ N e. J) -> N (_ U.J)
7	5, 6	sylan 450	. . . 4 |- (((J e. Top /\ N e. J) /\ S (_ N) -> S (_ U.J)
8	7	3impa 830	. . 3 |- ((J e. Top /\ N e. J /\ S (_ N) -> S (_ U.J)
9	3, 8	syld3an3 872	. 2 |- ((J e. Top /\ N e. J /\ S (_ N) -> (S (_ N <-> N e. ((nei` J)` S)))
10	1, 9	mpbid 195	1 |- ((J e. Top /\ N e. J /\ S (_ N) -> N e. ((nei` J)` S))

Syntax hints:   -> wi 3   <-> wb 146   /\ wa 223   /\ w3a 777   e. wcel 960   (_ wss 2050  U.cuni 2507  ` cfv 3188  Topctop 7590  neicnei 7709

This theorem is referenced by:  opnneip 7730  tpnei 7731  opnneiid 7734  neissex 7735

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 964  ax-gen 965  ax-8 966  ax-9 967  ax-10 968  ax-11 969  ax-12 970  ax-13 971  ax-14 972  ax-17 973  ax-4 975  ax-5o 977  ax-6o 980  ax-9o 1125  ax-10o 1142  ax-16 1212  ax-11o 1220  ax-ext 1462  ax-rep 2698  ax-sep 2708  ax-pow 2748  ax-pr 2785  ax-un 2872

This theorem depends on definitions:  df-bi 147  df-or 224  df-an 225  df-3an 779  df-ex 983  df-sb 1174  df-eu 1384  df-mo 1385  df-clab 1467  df-cleq 1472  df-clel 1475  df-ne 1590  df-ral 1652  df-rex 1653  df-rab 1655  df-v 1815  df-dif 2052  df-un 2053  df-in 2054  df-ss 2056  df-nul 2284  df-pw 2406  df-sn 2416  df-pr 2417  df-op 2420  df-uni 2508  df-br 2625  df-opab 2672  df-id 2841  df-xp 3190  df-rel 3191  df-cnv 3192  df-co 3193  df-dm 3194  df-rn 3195  df-res 3196  df-ima 3197  df-fun 3198  df-fn 3199  df-fv 3204  df-nei 7710

Copyright terms: Public domain