Theorem opnuni 7868

Description: The union of a collection of open sets of a metric space is open. Theorem T2 of [Kreyszig] p. 19.

Hypothesis

Ref	Expression
opni.1	|- J = (Open` D)

Assertion

Ref	Expression
opnuni	|- ((D e. Met /\ A (_ J) -> U.A e. J)

Proof of Theorem opnuni

Step	Hyp	Ref	Expression
1		sstr2 2071	. . . . . 6 |- (A (_ J -> (J (_ P~dom dom D -> A (_ P~dom dom D))
2		eqid 1475	. . . . . . 7 |- dom dom D = dom dom D
3		opni.1	. . . . . . 7 |- J = (Open` D)
4	2, 3	opnfss 7858	. . . . . 6 |- (D e. Met -> J (_ P~dom dom D)
5	1, 4	syl5com 52	. . . . 5 |- (D e. Met -> (A (_ J -> A (_ P~dom dom D))
6		uniss 2521	. . . . . 6 |- (A (_ P~dom dom D -> U.A (_ U.P~dom dom D)
7		unipw 2756	. . . . . 6 |- U.P~dom dom D = dom dom D
8	6, 7	syl6ss 2107	. . . . 5 |- (A (_ P~dom dom D -> U.A (_ dom dom D)
9	5, 8	syl6 22	. . . 4 |- (D e. Met -> (A (_ J -> U.A (_ dom dom D))
10	3	opni 7864	. . . . . . . . . . 11 |- ((D e. Met /\ u e. J /\ w e. u) -> E.v e. ran ( ball ` D)(w e. v /\ v (_ u))
11		simpll 412	. . . . . . . . . . 11 |- (((D e. Met /\ A (_ J) /\ (u e. A /\ w e. u)) -> D e. Met)
12		ssel2 2064	. . . . . . . . . . . 12 |- ((A (_ J /\ u e. A) -> u e. J)
13	12	ad2ant2lr 410	. . . . . . . . . . 11 |- (((D e. Met /\ A (_ J) /\ (u e. A /\ w e. u)) -> u e. J)
14		simprr 415	. . . . . . . . . . 11 |- (((D e. Met /\ A (_ J) /\ (u e. A /\ w e. u)) -> w e. u)
15	10, 11, 13, 14	syl3anc 858	. . . . . . . . . 10 |- (((D e. Met /\ A (_ J) /\ (u e. A /\ w e. u)) -> E.v e. ran ( ball ` D)(w e. v /\ v (_ u))
16		ssuni 2522	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ((v (_ u /\ u e. A) -> v (_ U.A)
17	16	expcom 374	. . . . . . . . . . . . 13 |- (u e. A -> (v (_ u -> v (_ U.A))
18	17	anim2d 561	. . . . . . . . . . . 12 |- (u e. A -> ((w e. v /\ v (_ u) -> (w e. v /\ v (_ U.A)))
19	18	r19.22sdv 1738	. . . . . . . . . . 11 |- (u e. A -> (E.v e. ran ( ball ` D)(w e. v /\ v (_ u) -> E.v e. ran ( ball ` D)(w e. v /\ v (_ U.A)))
20	19	ad2antrl 406	. . . . . . . . . 10 |- (((D e. Met /\ A (_ J) /\ (u e. A /\ w e. u)) -> (E.v e. ran ( ball ` D)(w e. v /\ v (_ u) -> E.v e. ran ( ball ` D)(w e. v /\ v (_ U.A)))
21	15, 20	mpd 26	. . . . . . . . 9 |- (((D e. Met /\ A (_ J) /\ (u e. A /\ w e. u)) -> E.v e. ran ( ball ` D)(w e. v /\ v (_ U.A))
22	21	exp32 377	. . . . . . . 8 |- ((D e. Met /\ A (_ J) -> (u e. A -> (w e. u -> E.v e. ran ( ball ` D)(w e. v /\ v (_ U.A))))
23	22	r19.23adv 1746	. . . . . . 7 |- ((D e. Met /\ A (_ J) -> (E.u e. A w e. u -> E.v e. ran ( ball ` D)(w e. v /\ v (_ U.A)))
24		eluni2 2507	. . . . . . 7 |- (w e. U.A <-> E.u e. A w e. u)
25	23, 24	syl5ib 206	. . . . . 6 |- ((D e. Met /\ A (_ J) -> (w e. U.A -> E.v e. ran ( ball ` D)(w e. v /\ v (_ U.A)))
26	25	ex 373	. . . . 5 |- (D e. Met -> (A (_ J -> (w e. U.A -> E.v e. ran ( ball ` D)(w e. v /\ v (_ U.A))))
27	26	r19.21adv 1718	. . . 4 |- (D e. Met -> (A (_ J -> A.w e. U.AE.v e. ran ( ball ` D)(w e. v /\ v (_ U.A)))
28	9, 27	jcad 600	. . 3 |- (D e. Met -> (A (_ J -> (U.A (_ dom dom D /\ A.w e. U.AE.v e. ran ( ball ` D)(w e. v /\ v (_ U.A))))
29	2, 3	isopn 7859	. . 3 |- (D e. Met -> (U.A e. J <-> (U.A (_ dom dom D /\ A.w e. U.AE.v e. ran ( ball ` D)(w e. v /\ v (_ U.A))))
30	28, 29	sylibrd 204	. 2 |- (D e. Met -> (A (_ J -> U.A e. J))
31	30	imp 350	1 |- ((D e. Met /\ A (_ J) -> U.A e. J)

Syntax hints:   -> wi 3   /\ wa 223   = wceq 956   e. wcel 958  A.wral 1645  E.wrex 1646   (_ wss 2047  P~cpw 2401  U.cuni 2503  dom cdm 3170  ran crn 3171  ` cfv 3182  Metcme 7789   ball cbl 7791  Opencopn 7792

This theorem is referenced by:  opntop 7870

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 962  ax-gen 963  ax-8 964  ax-9 965  ax-10 966  ax-11 967  ax-12 968  ax-13 969  ax-14 970  ax-17 971  ax-4 973  ax-5o 975  ax-6o 978  ax-9o 1123  ax-10o 1140  ax-16 1210  ax-11o 1218  ax-ext 1459  ax-sep 2703  ax-pow 2742  ax-pr 2779  ax-un 2866

This theorem depends on definitions:  df-bi 147  df-or 224  df-an 225  df-3an 777  df-ex 981  df-sb 1172  df-eu 1382  df-mo 1383  df-clab 1464  df-cleq 1469  df-clel 1472  df-ne 1587  df-ral 1649  df-rex 1650  df-rab 1652  df-v 1812  df-dif 2049  df-un 2050  df-in 2051  df-ss 2053  df-nul 2281  df-pw 2402  df-sn 2412  df-pr 2413  df-op 2416  df-uni 2504  df-br 2620  df-opab 2667  df-id 2835  df-xp 3184  df-rel 3185  df-cnv 3186  df-co 3187  df-dm 3188  df-rn 3189  df-res 3190  df-ima 3191  df-fun 3192  df-fv 3198  df-opn 7796

Copyright terms: Public domain