Theorem opprc1b 2872

Description: A property of an ordered pair of proper classes (due to our particular definition of ordered pair).

Assertion

Ref	Expression
opprc1b	|- (-. A e. V <-> (/) e. <.A, B>.)

Proof of Theorem opprc1b

Step	Hyp	Ref	Expression
1		opprc1 2563	. . 3 |- (-. A e. V -> <.A, B>. = {(/), {B}})
2		0ex 2785	. . . 4 |- (/) e. V
3	2	prid1 2513	. . 3 |- (/) e. {(/), {B}}
4	1, 3	syl5eleqr 1598	. 2 |- (-. A e. V -> (/) e. <.A, B>.)
5		opeq1 2552	. . . . . 6 |- (x = A -> <.x, B>. = <.A, B>.)
6	5	eleq2d 1584	. . . . 5 |- (x = A -> ((/) e. <.x, B>. <-> (/) e. <.A, B>.))
7	6	notbid 614	. . . 4 |- (x = A -> (-. (/) e. <.x, B>. <-> -. (/) e. <.A, B>.))
8		visset 1859	. . . . . . . . 9 |- x e. V
9	8	snnz 2522	. . . . . . . 8 |- {x} =/= (/)
10		df-ne 1630	. . . . . . . 8 |- ({x} =/= (/) <-> -. {x} = (/))
11	9, 10	mpbi 187	. . . . . . 7 |- -. {x} = (/)
12		eqcom 1520	. . . . . . 7 |- ({x} = (/) <-> (/) = {x})
13	11, 12	mtbi 189	. . . . . 6 |- -. (/) = {x}
14	8	prnz 2523	. . . . . . . 8 |- {x, B} =/= (/)
15		df-ne 1630	. . . . . . . 8 |- ({x, B} =/= (/) <-> -. {x, B} = (/))
16	14, 15	mpbi 187	. . . . . . 7 |- -. {x, B} = (/)
17		eqcom 1520	. . . . . . 7 |- ({x, B} = (/) <-> (/) = {x, B})
18	16, 17	mtbi 189	. . . . . 6 |- -. (/) = {x, B}
19	13, 18	pm3.2ni 583	. . . . 5 |- -. ((/) = {x} \/ (/) = {x, B})
20	2	elop 2859	. . . . 5 |- ((/) e. <.x, B>. <-> ((/) = {x} \/ (/) = {x, B}))
21	19, 20	mtbir 190	. . . 4 |- -. (/) e. <.x, B>.
22	7, 21	vtoclg 1893	. . 3 |- (A e. V -> -. (/) e. <.A, B>.)
23	22	con2i 97	. 2 |- ((/) e. <.A, B>. -> -. A e. V)
24	4, 23	impbii 155	1 |- (-. A e. V <-> (/) e. <.A, B>.)

Syntax hints:  -. wn 2   <-> wb 144   \/ wo 220   = wceq 992   e. wcel 994   =/= wne 1628  Vcvv 1857  (/)c0 2332  {csn 2467  {cpr 2468  <.cop 2469

This theorem is referenced by:  opprc3 2873  opeqex 2874  opth2 2876  0nelelxp 3327  onxpdisj 3328  dmsnop 3577  funopg 3652

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 998  ax-gen 999  ax-8 1000  ax-10 1002  ax-11 1003  ax-12 1004  ax-14 1006  ax-17 1007  ax-4 1009  ax-5o 1011  ax-6o 1014  ax-9o 1159  ax-10o 1177  ax-16 1247  ax-11o 1255  ax-ext 1500  ax-nul 2784

This theorem depends on definitions:  df-bi 145  df-or 222  df-an 223  df-ex 1017  df-sb 1209  df-eu 1421  df-mo 1422  df-clab 1506  df-cleq 1511  df-clel 1514  df-ne 1630  df-v 1858  df-dif 2101  df-un 2102  df-nul 2333  df-sn 2470  df-pr 2471  df-op 2474

Copyright terms: Public domain