Theorem opr1cn 7961

Description: Construct a continuous function H built from a function F and a constant applied to an operation O.

Hypotheses

Ref	Expression
oprcn.1	|- X = dom dom A
oprcn.2	|- Y = dom dom B
oprcn.4	|- Z = dom dom C
oprcn.6	|- A e. Met
oprcn.7	|- B e. Met
oprcn.8	|- C e. Met
oprcn.9	|- J e. Met
oprcn.a	|- K = (Open` A)
oprcn.b	|- L = (Open` B)
oprcn.c	|- M = (Open` C)
oprcn.d	|- N = (Open` D)
oprcn.j	|- Q = (Open` J)
oprcn.10	|- D = {<.<.x, y>., z>. | ((x e. (Y X. Z) /\ y e. (Y X. Z)) /\ z = sup({((1st` x)B(1st` y)), ((2nd` x)C(2nd` y))}, RR, < ))}
oprcn.11	|- O e. (N Cn Q)
opr1cn.12	|- H = {<.w, v>. | (w e. X /\ v = ((F` w)OP))}

Assertion

Ref	Expression
opr1cn	|- ((F e. (K Cn L) /\ P e. Z) -> H e. (K Cn Q))

Distinct variable groups:   w,A   x,w,y,z,B   w,C,x,y,z   w,v,x,y,z,F   w,J   w,K   w,L   w,M   v,O,w   v,P,w,x,y,z   v,X,w,x,y,z   v,Y,w,x,y,z   v,Z,w,x,y,z

Proof of Theorem opr1cn

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fvconst2g 3841	. . . . . . . 8 |- ((P e. Z /\ w e. X) -> ((X X. {P})` w) = P)
2	1	opreq2d 3973	. . . . . . 7 |- ((P e. Z /\ w e. X) -> ((F` w)O((X X. {P})` w)) = ((F` w)OP))
3	2	eqeq2d 1485	. . . . . 6 |- ((P e. Z /\ w e. X) -> (v = ((F` w)O((X X. {P})` w)) <-> v = ((F` w)OP)))
4	3	pm5.32da 648	. . . . 5 |- (P e. Z -> ((w e. X /\ v = ((F` w)O((X X. {P})` w))) <-> (w e. X /\ v = ((F` w)OP))))
5	4	opabbidv 2667	. . . 4 |- (P e. Z -> {<.w, v>. | (w e. X /\ v = ((F` w)O((X X. {P})` w)))} = {<.w, v>. | (w e. X /\ v = ((F` w)OP))})
6		opr1cn.12	. . . 4 |- H = {<.w, v>. | (w e. X /\ v = ((F` w)OP))}
7	5, 6	syl6reqr 1525	. . 3 |- (P e. Z -> H = {<.w, v>. | (w e. X /\ v = ((F` w)O((X X. {P})` w)))})
8	7	adantl 388	. 2 |- ((F e. (K Cn L) /\ P e. Z) -> H = {<.w, v>. | (w e. X /\ v = ((F` w)O((X X. {P})` w)))})
9		oprcn.1	. . . 4 |- X = dom dom A
10		oprcn.2	. . . 4 |- Y = dom dom B
11		oprcn.4	. . . 4 |- Z = dom dom C
12		oprcn.6	. . . 4 |- A e. Met
13		oprcn.7	. . . 4 |- B e. Met
14		oprcn.8	. . . 4 |- C e. Met
15		oprcn.9	. . . 4 |- J e. Met
16		oprcn.a	. . . 4 |- K = (Open` A)
17		oprcn.b	. . . 4 |- L = (Open` B)
18		oprcn.c	. . . 4 |- M = (Open` C)
19		oprcn.d	. . . 4 |- N = (Open` D)
20		oprcn.j	. . . 4 |- Q = (Open` J)
21		oprcn.10	. . . 4 |- D = {<.<.x, y>., z>. | ((x e. (Y X. Z) /\ y e. (Y X. Z)) /\ z = sup({((1st` x)B(1st` y)), ((2nd` x)C(2nd` y))}, RR, < ))}
22		oprcn.11	. . . 4 |- O e. (N Cn Q)
23		eqid 1475	. . . 4 |- {<.w, v>. | (w e. X /\ v = ((F` w)O((X X. {P})` w)))} = {<.w, v>. | (w e. X /\ v = ((F` w)O((X X. {P})` w)))}
24	9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19, 20, 21, 22, 23	oprcn 7960	. . 3 |- ((F e. (K Cn L) /\ (X X. {P}) e. (K Cn M)) -> {<.w, v>. | (w e. X /\ v = ((F` w)O((X X. {P})` w)))} e. (K Cn Q))
25		fconstg 3656	. . . 4 |- (P e. Z -> (X X. {P}):X-->{P})
26	9, 11, 16, 18	metcnconst 7868	. . . . 5 |- (((A e. Met /\ C e. Met) /\ (P e. Z /\ (X X. {P}):X-->{P})) -> (X X. {P}) e. (K Cn M))
27	12, 14, 26	mpanl12 707	. . . 4 |- ((P e. Z /\ (X X. {P}):X-->{P}) -> (X X. {P}) e. (K Cn M))
28	25, 27	mpdan 703	. . 3 |- (P e. Z -> (X X. {P}) e. (K Cn M))
29	24, 28	sylan2 451	. 2 |- ((F e. (K Cn L) /\ P e. Z) -> {<.w, v>. | (w e. X /\ v = ((F` w)O((X X. {P})` w)))} e. (K Cn Q))
30	8, 29	eqeltrd 1547	1 |- ((F e. (K Cn L) /\ P e. Z) -> H e. (K Cn Q))

Syntax hints:   -> wi 3   /\ wa 223   = wceq 955   e. wcel 957  {csn 2407  {cpr 2408  {copab 2663   X. cxp 3165  dom cdm 3167  -->wf 3175  ` cfv 3179  (class class class)co 3960  {copab2 3961  1stc1st 4074  2ndc2nd 4075  supcsup 4560  RRcr 5220   < clt 5473   Cn ccn 7731  Metcme 7768  Opencopn 7771

This theorem is referenced by:  opr1scn 7963

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 961  ax-gen 962  ax-8 963  ax-9 964  ax-10 965  ax-11 966  ax-12 967  ax-13 968  ax-14 969  ax-17 970  ax-4 972  ax-5o 974  ax-6o 977  ax-9o 1122  ax-10o 1139  ax-16 1210  ax-11o 1218  ax-ext 1459  ax-rep 2690  ax-sep 2700  ax-nul 2707  ax-pow 2739  ax-pr 2776  ax-un 2863  ax-inf2 4612

This theorem depends on definitions:  df-bi 147  df-or 224  df-an 225  df-3or 775  df-3an 776  df-ex 980  df-sb 1172  df-eu 1382  df-mo 1383  df-clab 1464  df-cleq 1469  df-clel 1472  df-ne 1586  df-nel 1587  df-ral 1648  df-rex 1649  df-reu 1650  df-rab 1651  df-v 1810  df-sbc 1940  df-csb 2000  df-dif 2047  df-un 2048  df-in 2049  df-ss 2051  df-pss 2053  df-nul 2279  df-if 2360  df-pw 2400  df-sn 2410  df-pr 2411  df-tp 2413  df-op 2414  df-uni 2501  df-int 2531  df-iun 2565  df-br 2617  df-opab 2664  df-tr 2678  df-eprel 2829  df-id 2832  df-po 2837  df-so 2847  df-fr 2914  df-we 2931  df-ord 2948  df-on 2949  df-lim 2950  df-suc 2951  df-om 3129  df-xp 3181  df-rel 3182  df-cnv 3183  df-co 3184  df-dm 3185  df-rn 3186  df-res 3187  df-ima 3188  df-fun 3189  df-fn 3190  df-f 3191  df-f1 3192  df-fo 3193  df-f1o 3194  df-fv 3195  df-rdg 3929  df-opr 3962  df-oprab 3963  df-1st 4076  df-2nd 4077  df-1o 4130  df-oadd 4132  df-omul 4133  df-er 4258  df-ec 4260  df-qs 4263  df-map 4321  df-en 4364  df-dom 4365  df-sdom 4366  df-sup 4561  df-ni 4987  df-pli 4988  df-mi 4989  df-lti 4990  df-plpq 5022  df-mpq 5023  df-enq 5024  df-nq 5025  df-plq 5026  df-mq 5027  df-rq 5028  df-ltq 5029  df-1q 5030  df-np 5073  df-1p 5074  df-plp 5075  df-mp 5076  df-ltp 5077  df-plpr 5151  df-mpr 5152  df-enr 5153  df-nr 5154  df-plr 5155  df-mr 5156  df-ltr 5157  df-0r 5158  df-1r 5159  df-m1r 5160  df-c 5227  df-0 5228  df-1 5229  df-i 5230  df-r 5231  df-plus 5232  df-mul 5233  df-lt 5234  df-sub 5343  df-neg 5345  df-pnf 5474  df-mnf 5475  df-xr 5476  df-ltxr 5477  df-le 5478  df-2 5931  df-top 7571  df-cn 7733  df-cnp 7734  df-met 7772  df-bl 7774  df-opn 7775

Copyright terms: Public domain