Theorem opr1scn 7977

Description: Construct a continuous function G from a continuous operation O with the second argument held constant.

Hypotheses

Ref	Expression
oprscn.1	|- X = dom dom A
oprscn.3	|- Y = dom dom B
oprscn.5	|- A e. Met
oprscn.6	|- B e. Met
oprscn.7	|- C e. Met
oprscn.8	|- D = {<.<.x, y>., z>. | ((x e. (X X. Y) /\ y e. (X X. Y)) /\ z = sup({((1st` x)A(1st` y)), ((2nd` x)B(2nd` y))}, RR, < ))}
oprscn.j	|- J = (Open` A)
oprscn.k	|- K = (Open` C)
oprscn.l	|- L = (Open` D)
oprscn.9	|- O e. (L Cn K)
opr1scn.10	|- G = {<.w, v>. | (w e. X /\ v = (wOP))}

Assertion

Ref	Expression
opr1scn	|- (P e. Y -> G e. (J Cn K))

Distinct variable groups:   x,w,y,z,A   w,B,x,y,z   w,C   w,J   w,v,O   x,v,y,z,P,w   v,X,w,x,y,z   v,Y,w,x,y,z

Proof of Theorem opr1scn

Step	Hyp	Ref	Expression
1		oprscn.5	. . 3 |- A e. Met
2		ssid 2083	. . 3 |- A (_ A
3		oprscn.1	. . . 4 |- X = dom dom A
4		oprscn.j	. . . 4 |- J = (Open` A)
5	3, 4, 4	metidcn 7897	. . 3 |- ((A e. Met /\ A e. Met /\ A (_ A) -> (I |` X) e. (J Cn J))
6	1, 1, 2, 5	mp3an 918	. 2 |- (I |` X) e. (J Cn J)
7		oprscn.3	. . 3 |- Y = dom dom B
8		oprscn.6	. . 3 |- B e. Met
9		oprscn.7	. . 3 |- C e. Met
10		eqid 1478	. . 3 |- (Open` B) = (Open` B)
11		oprscn.l	. . 3 |- L = (Open` D)
12		oprscn.k	. . 3 |- K = (Open` C)
13		oprscn.8	. . 3 |- D = {<.<.x, y>., z>. | ((x e. (X X. Y) /\ y e. (X X. Y)) /\ z = sup({((1st` x)A(1st` y)), ((2nd` x)B(2nd` y))}, RR, < ))}
14		oprscn.9	. . 3 |- O e. (L Cn K)
15		opr1scn.10	. . . 4 |- G = {<.w, v>. | (w e. X /\ v = (wOP))}
16		fvresi 3849	. . . . . . . 8 |- (w e. X -> ((I |` X)` w) = w)
17	16	opreq1d 3981	. . . . . . 7 |- (w e. X -> (((I |` X)` w)OP) = (wOP))
18	17	eqeq2d 1489	. . . . . 6 |- (w e. X -> (v = (((I |` X)` w)OP) <-> v = (wOP)))
19	18	pm5.32i 647	. . . . 5 |- ((w e. X /\ v = (((I |` X)` w)OP)) <-> (w e. X /\ v = (wOP)))
20	19	opabbii 2676	. . . 4 |- {<.w, v>. | (w e. X /\ v = (((I |` X)` w)OP))} = {<.w, v>. | (w e. X /\ v = (wOP))}
21	15, 20	eqtr4 1501	. . 3 |- G = {<.w, v>. | (w e. X /\ v = (((I |` X)` w)OP))}
22	3, 3, 7, 1, 1, 8, 9, 4, 4, 10, 11, 12, 13, 14, 21	opr1cn 7975	. 2 |- (((I |` X) e. (J Cn J) /\ P e. Y) -> G e. (J Cn K))
23	6, 22	mpan 697	1 |- (P e. Y -> G e. (J Cn K))

Syntax hints:   -> wi 3   /\ wa 223   = wceq 958   e. wcel 960   (_ wss 2050  {cpr 2414  {copab 2671  Icid 2837   X. cxp 3174  dom cdm 3176   |` cres 3178  ` cfv 3188  (class class class)co 3969  {copab2 3970  1stc1st 4083  2ndc2nd 4084  supcsup 4582  RRcr 5245   < clt 5498   Cn ccn 7749  Metcme 7786  Opencopn 7789

This theorem is referenced by:  ipasslem6 8491

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 964  ax-gen 965  ax-8 966  ax-9 967  ax-10 968  ax-11 969  ax-12 970  ax-13 971  ax-14 972  ax-17 973  ax-4 975  ax-5o 977  ax-6o 980  ax-9o 1125  ax-10o 1142  ax-16 1212  ax-11o 1220  ax-ext 1462  ax-rep 2698  ax-sep 2708  ax-nul 2715  ax-pow 2748  ax-pr 2785  ax-un 2872  ax-inf2 4634

This theorem depends on definitions:  df-bi 147  df-or 224  df-an 225  df-3or 778  df-3an 779  df-ex 983  df-sb 1174  df-eu 1384  df-mo 1385  df-clab 1467  df-cleq 1472  df-clel 1475  df-ne 1590  df-nel 1591  df-ral 1652  df-rex 1653  df-reu 1654  df-rab 1655  df-v 1815  df-sbc 1945  df-csb 2005  df-dif 2052  df-un 2053  df-in 2054  df-ss 2056  df-pss 2058  df-nul 2284  df-if 2366  df-pw 2406  df-sn 2416  df-pr 2417  df-tp 2419  df-op 2420  df-uni 2508  df-int 2538  df-iun 2572  df-br 2625  df-opab 2672  df-tr 2686  df-eprel 2838  df-id 2841  df-po 2846  df-so 2856  df-fr 2923  df-we 2940  df-ord 2957  df-on 2958  df-lim 2959  df-suc 2960  df-om 3138  df-xp 3190  df-rel 3191  df-cnv 3192  df-co 3193  df-dm 3194  df-rn 3195  df-res 3196  df-ima 3197  df-fun 3198  df-fn 3199  df-f 3200  df-f1 3201  df-fo 3202  df-f1o 3203  df-fv 3204  df-rdg 3938  df-opr 3971  df-oprab 3972  df-1st 4085  df-2nd 4086  df-1o 4139  df-oadd 4141  df-omul 4142  df-er 4267  df-ec 4269  df-qs 4272  df-map 4330  df-en 4374  df-dom 4375  df-sdom 4376  df-sup 4583  df-ni 5012  df-pli 5013  df-mi 5014  df-lti 5015  df-plpq 5047  df-mpq 5048  df-enq 5049  df-nq 5050  df-plq 5051  df-mq 5052  df-rq 5053  df-ltq 5054  df-1q 5055  df-np 5098  df-1p 5099  df-plp 5100  df-mp 5101  df-ltp 5102  df-plpr 5176  df-mpr 5177  df-enr 5178  df-nr 5179  df-plr 5180  df-mr 5181  df-ltr 5182  df-0r 5183  df-1r 5184  df-m1r 5185  df-c 5252  df-0 5253  df-1 5254  df-i 5255  df-r 5256  df-plus 5257  df-mul 5258  df-lt 5259  df-sub 5368  df-neg 5370  df-pnf 5499  df-mnf 5500  df-xr 5501  df-ltxr 5502  df-le 5503  df-2 5972  df-top 7594  df-cn 7751  df-cnp 7752  df-met 7790  df-bl 7792  df-opn 7793

Copyright terms: Public domain