Theorem oprabex 4010

Description: Existence of an operation class abstraction.

Hypotheses

Ref	Expression
oprabex.1	|- A e. V
oprabex.2	|- B e. V
oprabex.3	|- ((x e. A /\ y e. B) -> E*zph)
oprabex.4	|- F = {<.<.x, y>., z>. | ((x e. A /\ y e. B) /\ ph)}

Assertion

Ref	Expression
oprabex	|- F e. V

Distinct variable groups:   x,y,z,A   x,B,y,z

Proof of Theorem oprabex

Step	Hyp	Ref	Expression
1		oprabex.4	. 2 |- F = {<.<.x, y>., z>. | ((x e. A /\ y e. B) /\ ph)}
2		oprabex.3	. . . . 5 |- ((x e. A /\ y e. B) -> E*zph)
3		moanimv 1427	. . . . 5 |- (E*z((x e. A /\ y e. B) /\ ph) <-> ((x e. A /\ y e. B) -> E*zph))
4	2, 3	mpbir 190	. . . 4 |- E*z((x e. A /\ y e. B) /\ ph)
5	4	funoprab 4002	. . 3 |- Fun {<.<.x, y>., z>. | ((x e. A /\ y e. B) /\ ph)}
6		oprabex.1	. . . . 5 |- A e. V
7		oprabex.2	. . . . 5 |- B e. V
8	6, 7	xpex 3255	. . . 4 |- (A X. B) e. V
9		dmoprabss 3994	. . . 4 |- dom {<.<.x, y>., z>. | ((x e. A /\ y e. B) /\ ph)} (_ (A X. B)
10	8, 9	ssexi 2715	. . 3 |- dom {<.<.x, y>., z>. | ((x e. A /\ y e. B) /\ ph)} e. V
11		funex 3600	. . 3 |- ((Fun {<.<.x, y>., z>. | ((x e. A /\ y e. B) /\ ph)} /\ dom {<.<.x, y>., z>. | ((x e. A /\ y e. B) /\ ph)} e. V) -> {<.<.x, y>., z>. | ((x e. A /\ y e. B) /\ ph)} e. V)
12	5, 10, 11	mp2an 696	. 2 |- {<.<.x, y>., z>. | ((x e. A /\ y e. B) /\ ph)} e. V
13	1, 12	eqeltr 1541	1 |- F e. V

Syntax hints:   -> wi 3   /\ wa 223   = wceq 954   e. wcel 956  E*wmo 1379  Vcvv 1807   X. cxp 3163  dom cdm 3165  Fun wfun 3171  {copab2 3955

This theorem is referenced by:  oprabex3 4013

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 960  ax-gen 961  ax-8 962  ax-9 963  ax-10 964  ax-11 965  ax-12 966  ax-13 967  ax-14 968  ax-17 969  ax-4 971  ax-5o 973  ax-6o 976  ax-9o 1121  ax-10o 1138  ax-16 1208  ax-11o 1216  ax-ext 1457  ax-rep 2688  ax-sep 2698  ax-pow 2737  ax-pr 2774  ax-un 2861

This theorem depends on definitions:  df-bi 147  df-or 224  df-an 225  df-ex 979  df-sb 1170  df-eu 1380  df-mo 1381  df-clab 1462  df-cleq 1467  df-clel 1470  df-ne 1584  df-rex 1647  df-v 1808  df-dif 2045  df-un 2046  df-in 2047  df-ss 2049  df-nul 2277  df-pw 2398  df-sn 2408  df-pr 2409  df-op 2412  df-uni 2499  df-br 2615  df-opab 2662  df-id 2830  df-xp 3179  df-rel 3180  df-cnv 3181  df-co 3182  df-dm 3183  df-rn 3184  df-res 3185  df-ima 3186  df-fun 3187  df-fn 3188  df-oprab 3957

Copyright terms: Public domain