Theorem oprabval2 4028

Description: The value of an operation class abstraction. Special case.

Hypotheses

Ref	Expression
oprabval2.1	|- S e. V
oprabval2.2	|- (x = A -> R = G)
oprabval2.3	|- (y = B -> G = S)
oprabval2.4	|- F = {<.<.x, y>., z>. | ((x e. C /\ y e. D) /\ z = R)}

Assertion

Ref	Expression
oprabval2	|- ((A e. C /\ B e. D) -> (AFB) = S)

Distinct variable groups:   x,y,z,A   x,B,y,z   x,C,y,z   x,D,y,z   x,G   z,R   y,S,z

Proof of Theorem oprabval2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		oprabval2.1	. 2 |- S e. V
2		oprabval2.2	. . 3 |- (x = A -> R = G)
3		oprabval2.3	. . 3 |- (y = B -> G = S)
4		oprabval2.4	. . 3 |- F = {<.<.x, y>., z>. | ((x e. C /\ y e. D) /\ z = R)}
5	2, 3, 4	oprabval2g 4027	. 2 |- ((A e. C /\ B e. D /\ S e. V) -> (AFB) = S)
6	1, 5	mp3an3 905	1 |- ((A e. C /\ B e. D) -> (AFB) = S)

Syntax hints:   -> wi 3   /\ wa 223   = wceq 956   e. wcel 958  Vcvv 1811  (class class class)co 3963  {copab2 3964

This theorem is referenced by:  oprabval5 4029  oav 4150  omv 4151  oev 4153  genpv 5102  subvalt 5357  divval 5704  ioovalt 6366  iocvalt 6375  icovalt 6376  iccvalt 6377  fzvalt 6469  expvalt 6570  bcvalt 6958  acdc3lem 7486  acdc2lem1 7488  acdc5lem1 7491  acdclem 7494  acdcALT 7496  ruclem15 7524  cnfval 7756  metxpdval 7829  dscmet 7918  bcthlem15 8013  grpdivval 8082  ipval 8353  lnoval 8413  nmofval 8425  bloval 8441  0ofval 8447  ajfval 8469  hvsubvalt 8886  shsumvalt 9277  sshjvalt 9320  sshjval3t 9326  hosmvalt 9511  hommvalt 9512  hodmvalt 9513  hfsmvalt 9514  hfmmvalt 9515  kbvalt 9876  elgiso 10398  subsp 10554  ishomb 10716

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 962  ax-gen 963  ax-8 964  ax-9 965  ax-10 966  ax-11 967  ax-12 968  ax-13 969  ax-14 970  ax-17 971  ax-4 973  ax-5o 975  ax-6o 978  ax-9o 1123  ax-10o 1140  ax-16 1210  ax-11o 1218  ax-ext 1459  ax-sep 2703  ax-pow 2742  ax-pr 2779

This theorem depends on definitions:  df-bi 147  df-or 224  df-an 225  df-3an 777  df-ex 981  df-sb 1172  df-eu 1382  df-mo 1383  df-clab 1464  df-cleq 1469  df-clel 1472  df-ne 1587  df-rex 1650  df-v 1812  df-sbc 1942  df-csb 2002  df-dif 2049  df-un 2050  df-in 2051  df-ss 2053  df-nul 2281  df-pw 2402  df-sn 2412  df-pr 2413  df-op 2416  df-uni 2504  df-br 2620  df-opab 2667  df-id 2835  df-xp 3184  df-rel 3185  df-cnv 3186  df-co 3187  df-dm 3188  df-rn 3189  df-res 3190  df-ima 3191  df-fun 3192  df-fv 3198  df-opr 3965  df-oprab 3966

Copyright terms: Public domain