Theorem oprabval6g 4017

Description: The value of an operation class abstraction. Special case.

Hypotheses

Ref	Expression
oprabval6g.1	|- (<.x, y>. = <.A, B>. -> R = S)
oprabval6g.2	|- F = {<.<.x, y>., z>. | (<.x, y>. e. C /\ z = R)}

Assertion

Ref	Expression
oprabval6g	|- (((A e. G /\ B e. H /\ <.A, B>. e. C) /\ S e. J) -> (AFB) = S)

Distinct variable groups:   x,y,z,A   x,B,y,z   x,C,y,z   z,R   x,S,y,z

Proof of Theorem oprabval6g

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 1468	. . . . . 6 |- S = S
2		pm4.2i 171	. . . . . . 7 |- ((x = A /\ y = B) -> (S = S <-> S = S))
3	2	copsex2g 2783	. . . . . 6 |- ((A e. G /\ B e. H) -> (E.xE.y(<.A, B>. = <.x, y>. /\ S = S) <-> S = S))
4	1, 3	mpbiri 194	. . . . 5 |- ((A e. G /\ B e. H) -> E.xE.y(<.A, B>. = <.x, y>. /\ S = S))
5	4	3adant3 797	. . . 4 |- ((A e. G /\ B e. H /\ <.A, B>. e. C) -> E.xE.y(<.A, B>. = <.x, y>. /\ S = S))
6	5	adantr 389	. . 3 |- (((A e. G /\ B e. H /\ <.A, B>. e. C) /\ S e. J) -> E.xE.y(<.A, B>. = <.x, y>. /\ S = S))
7		eqeq1 1473	. . . . . . . 8 |- (w = <.A, B>. -> (w = <.x, y>. <-> <.A, B>. = <.x, y>.))
8	7	anbi1d 615	. . . . . . 7 |- (w = <.A, B>. -> ((w = <.x, y>. /\ z = R) <-> (<.A, B>. = <.x, y>. /\ z = R)))
9		oprabval6g.1	. . . . . . . . . 10 |- (<.x, y>. = <.A, B>. -> R = S)
10	9	eqeq2d 1478	. . . . . . . . 9 |- (<.x, y>. = <.A, B>. -> (z = R <-> z = S))
11	10	eqcoms 1470	. . . . . . . 8 |- (<.A, B>. = <.x, y>. -> (z = R <-> z = S))
12	11	pm5.32i 643	. . . . . . 7 |- ((<.A, B>. = <.x, y>. /\ z = R) <-> (<.A, B>. = <.x, y>. /\ z = S))
13	8, 12	syl6bb 534	. . . . . 6 |- (w = <.A, B>. -> ((w = <.x, y>. /\ z = R) <-> (<.A, B>. = <.x, y>. /\ z = S)))
14	13	2exbidv 1276	. . . . 5 |- (w = <.A, B>. -> (E.xE.y(w = <.x, y>. /\ z = R) <-> E.xE.y(<.A, B>. = <.x, y>. /\ z = S)))
15		eqeq1 1473	. . . . . . 7 |- (z = S -> (z = S <-> S = S))
16	15	anbi2d 614	. . . . . 6 |- (z = S -> ((<.A, B>. = <.x, y>. /\ z = S) <-> (<.A, B>. = <.x, y>. /\ S = S)))
17	16	2exbidv 1276	. . . . 5 |- (z = S -> (E.xE.y(<.A, B>. = <.x, y>. /\ z = S) <-> E.xE.y(<.A, B>. = <.x, y>. /\ S = S)))
18		moeq 1911	. . . . . . 7 |- E*z z = R
19	18	mosubop 2794	. . . . . 6 |- E*zE.xE.y(w = <.x, y>. /\ z = R)
20	19	a1i 8	. . . . 5 |- (w e. C -> E*zE.xE.y(w = <.x, y>. /\ z = R))
21		oprabval6g.2	. . . . . 6 |- F = {<.<.x, y>., z>. | (<.x, y>. e. C /\ z = R)}
22		dfoprab2 3976	. . . . . 6 |- {<.<.x, y>., z>. | (<.x, y>. e. C /\ z = R)} = {<.w, z>. | E.xE.y(w = <.x, y>. /\ (<.x, y>. e. C /\ z = R))}
23		eleq1 1526	. . . . . . . . . . . 12 |- (w = <.x, y>. -> (w e. C <-> <.x, y>. e. C))
24	23	anbi1d 615	. . . . . . . . . . 11 |- (w = <.x, y>. -> ((w e. C /\ z = R) <-> (<.x, y>. e. C /\ z = R)))
25	24	pm5.32i 643	. . . . . . . . . 10 |- ((w = <.x, y>. /\ (w e. C /\ z = R)) <-> (w = <.x, y>. /\ (<.x, y>. e. C /\ z = R)))
26		an12 483	. . . . . . . . . 10 |- ((w = <.x, y>. /\ (w e. C /\ z = R)) <-> (w e. C /\ (w = <.x, y>. /\ z = R)))
27	25, 26	bitr3 175	. . . . . . . . 9 |- ((w = <.x, y>. /\ (<.x, y>. e. C /\ z = R)) <-> (w e. C /\ (w = <.x, y>. /\ z = R)))
28	27	2exbii 1048	. . . . . . . 8 |- (E.xE.y(w = <.x, y>. /\ (<.x, y>. e. C /\ z = R)) <-> E.xE.y(w e. C /\ (w = <.x, y>. /\ z = R)))
29		19.42vv 1305	. . . . . . . 8 |- (E.xE.y(w e. C /\ (w = <.x, y>. /\ z = R)) <-> (w e. C /\ E.xE.y(w = <.x, y>. /\ z = R)))
30	28, 29	bitr 173	. . . . . . 7 |- (E.xE.y(w = <.x, y>. /\ (<.x, y>. e. C /\ z = R)) <-> (w e. C /\ E.xE.y(w = <.x, y>. /\ z = R)))
31	30	opabbii 2661	. . . . . 6 |- {<.w, z>. | E.xE.y(w = <.x, y>. /\ (<.x, y>. e. C /\ z = R))} = {<.w, z>. | (w e. C /\ E.xE.y(w = <.x, y>. /\ z = R))}
32	21, 22, 31	3eqtr 1491	. . . . 5 |- F = {<.w, z>. | (w e. C /\ E.xE.y(w = <.x, y>. /\ z = R))}
33	14, 17, 20, 32	fvopab3ig 3763	. . . 4 |- ((<.A, B>. e. C /\ S e. J) -> (E.xE.y(<.A, B>. = <.x, y>. /\ S = S) -> (F` <.A, B>.) = S))
34	33	3ad2antl3 809	. . 3 |- (((A e. G /\ B e. H /\ <.A, B>. e. C) /\ S e. J) -> (E.xE.y(<.A, B>. = <.x, y>. /\ S = S) -> (F` <.A, B>.) = S))
35	6, 34	mpd 26	. 2 |- (((A e. G /\ B e. H /\ <.A, B>. e. C) /\ S e. J) -> (F` <.A, B>.) = S)
36		df-opr 3950	. 2 |- (AFB) = (F` <.A, B>.)
37	35, 36	syl5eq 1511	1 |- (((A e. G /\ B e. H /\ <.A, B>. e. C) /\ S e. J) -> (AFB) = S)

Syntax hints:   -> wi 3   <-> wb 146   /\ wa 223   /\ w3a 773   = wceq 953   e. wcel 955  E.wex 977  E*wmo 1374  <.cop 2401  {copab 2656  ` cfv 3172  (class class class)co 3948  {copab2 3949

This theorem is referenced by:  ipfval 8286

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 959  ax-gen 960  ax-8 961  ax-9 962  ax-10 963  ax-11 964  ax-12 965  ax-13 966  ax-14 967  ax-17 968  ax-4 970  ax-5o 972  ax-6o 975  ax-9o 1119  ax-10o 1136  ax-16 1206  ax-11o 1213  ax-ext 1452  ax-sep 2693  ax-pow 2732  ax-pr 2769

This theorem depends on definitions:  df-bi 147  df-or 224  df-an 225  df-3an 775  df-ex 978  df-sb 1168  df-eu 1375  df-mo 1376  df-clab 1457  df-cleq 1462  df-clel 1465  df-ne 1579  df-rex 1642  df-v 1803  df-dif 2039  df-un 2040  df-in 2041  df-ss 2043  df-nul 2271  df-pw 2392  df-sn 2402  df-pr 2403  df-op 2406  df-uni 2494  df-br 2610  df-opab 2657  df-id 2824  df-xp 3174  df-rel 3175  df-cnv 3176  df-co 3177  df-dm 3178  df-rn 3179  df-res 3180  df-ima 3181  df-fun 3182  df-fv 3188  df-opr 3950  df-oprab 3951

Copyright terms: Public domain