Theorem oprabvaligg 10399

Description: The value of an operation class abstraction (weak version).

Hypotheses

Ref	Expression
oprabvaligg.1	|- (x = A -> (ph <-> ps))
oprabvaligg.2	|- (y = B -> (ps <-> ch))
oprabvaligg.3	|- (z = C -> (ch <-> th))
oprabvaligg.4	|- E*zph
oprabvaligg.5	|- F = {<.<.x, y>., z>. | ph}

Assertion

Ref	Expression
oprabvaligg	|- ((A e. R /\ B e. S /\ C e. D) -> (th -> (AFB) = C))

Distinct variable groups:   x,y,z,A   x,B,y,z   x,C,y,z   x,R,y,z   x,S,y,z   ps,x   ch,x,y   th,x,y,z

Proof of Theorem oprabvaligg

Step	Hyp	Ref	Expression
1		oprabvaligg.1	. . . 4 |- (x = A -> (ph <-> ps))
2		oprabvaligg.2	. . . 4 |- (y = B -> (ps <-> ch))
3		oprabvaligg.3	. . . 4 |- (z = C -> (ch <-> th))
4	1, 2, 3	eloprabg 4002	. . 3 |- ((A e. R /\ B e. S /\ C e. D) -> (<.<.A, B>., C>. e. {<.<.x, y>., z>. | ph} <-> th))
5		oprabvaligg.4	. . . . . 6 |- E*zph
6	5	funoprab 4006	. . . . 5 |- Fun {<.<.x, y>., z>. | ph}
7		funopfvg 3747	. . . . 5 |- ((C e. D /\ Fun {<.<.x, y>., z>. | ph}) -> (<.<.A, B>., C>. e. {<.<.x, y>., z>. | ph} -> ({<.<.x, y>., z>. | ph}` <.A, B>.) = C))
8	6, 7	mpan2 695	. . . 4 |- (C e. D -> (<.<.A, B>., C>. e. {<.<.x, y>., z>. | ph} -> ({<.<.x, y>., z>. | ph}` <.A, B>.) = C))
9	8	3ad2ant3 801	. . 3 |- ((A e. R /\ B e. S /\ C e. D) -> (<.<.A, B>., C>. e. {<.<.x, y>., z>. | ph} -> ({<.<.x, y>., z>. | ph}` <.A, B>.) = C))
10	4, 9	sylbird 205	. 2 |- ((A e. R /\ B e. S /\ C e. D) -> (th -> ({<.<.x, y>., z>. | ph}` <.A, B>.) = C))
11		df-opr 3960	. . . 4 |- (AFB) = (F` <.A, B>.)
12		oprabvaligg.5	. . . . 5 |- F = {<.<.x, y>., z>. | ph}
13	12	fveq1i 3720	. . . 4 |- (F` <.A, B>.) = ({<.<.x, y>., z>. | ph}` <.A, B>.)
14	11, 13	eqtr 1493	. . 3 |- (AFB) = ({<.<.x, y>., z>. | ph}` <.A, B>.)
15	14	eqeq1i 1480	. 2 |- ((AFB) = C <-> ({<.<.x, y>., z>. | ph}` <.A, B>.) = C)
16	10, 15	syl6ibr 213	1 |- ((A e. R /\ B e. S /\ C e. D) -> (th -> (AFB) = C))

Syntax hints:   -> wi 3   <-> wb 146   /\ w3a 774   = wceq 955   e. wcel 957  E*wmo 1380  <.cop 2408  Fun wfun 3172  ` cfv 3178  (class class class)co 3958  {copab2 3959

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 961  ax-gen 962  ax-8 963  ax-9 964  ax-10 965  ax-11 966  ax-12 967  ax-13 968  ax-14 969  ax-17 970  ax-4 972  ax-5o 974  ax-6o 977  ax-9o 1122  ax-10o 1139  ax-16 1209  ax-11o 1217  ax-ext 1458  ax-sep 2699  ax-pow 2738  ax-pr 2775

This theorem depends on definitions:  df-bi 147  df-or 224  df-an 225  df-3an 776  df-ex 980  df-sb 1171  df-eu 1381  df-mo 1382  df-clab 1463  df-cleq 1468  df-clel 1471  df-ne 1585  df-rex 1648  df-v 1809  df-dif 2046  df-un 2047  df-in 2048  df-ss 2050  df-nul 2278  df-pw 2399  df-sn 2409  df-pr 2410  df-op 2413  df-uni 2500  df-br 2616  df-opab 2663  df-id 2831  df-xp 3180  df-rel 3181  df-cnv 3182  df-co 3183  df-dm 3184  df-rn 3185  df-res 3186  df-ima 3187  df-fun 3188  df-fv 3194  df-opr 3960  df-oprab 3961

Copyright terms: Public domain