Theorem oprprc1 3969

Description: The value of an operation when the first argument is a proper class. Note: this theorem is dependent on our particular definitions of operation value, function value, and ordered pair.

Hypothesis

Ref	Expression
oprprc1.1	|- Rel dom F

Assertion

Ref	Expression
oprprc1	|- (-. A e. V -> (AFB) = (/))

Proof of Theorem oprprc1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-br 2610	. . . . 5 |- (Adom F B <-> <.A, B>. e. dom F)
2		oprprc1.1	. . . . . 6 |- Rel dom F
3	2	brrelexi 3198	. . . . 5 |- (Adom F B -> A e. V)
4	1, 3	sylbir 201	. . . 4 |- (<.A, B>. e. dom F -> A e. V)
5	4	con3i 98	. . 3 |- (-. A e. V -> -. <.A, B>. e. dom F)
6		ndmfv 3730	. . 3 |- (-. <.A, B>. e. dom F -> (F` <.A, B>.) = (/))
7	5, 6	syl 10	. 2 |- (-. A e. V -> (F` <.A, B>.) = (/))
8		df-opr 3950	. 2 |- (AFB) = (F` <.A, B>.)
9	7, 8	syl5eq 1511	1 |- (-. A e. V -> (AFB) = (/))

Syntax hints:  -. wn 2   -> wi 3   = wceq 953   e. wcel 955  Vcvv 1802  (/)c0 2270  <.cop 2401   class class class wbr 2609  dom cdm 3160  Rel wrel 3165  ` cfv 3172  (class class class)co 3948

This theorem is referenced by:  ndmoprcl 4030  mapsspw 4325  ndmioo 6307  elfzlem 6405  hmeogrp 10425

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 959  ax-gen 960  ax-8 961  ax-10 963  ax-11 964  ax-12 965  ax-13 966  ax-14 967  ax-17 968  ax-4 970  ax-5o 972  ax-6o 975  ax-9o 1119  ax-10o 1136  ax-16 1206  ax-11o 1213  ax-ext 1452  ax-sep 2693  ax-pow 2732  ax-pr 2769

This theorem depends on definitions:  df-bi 147  df-or 224  df-an 225  df-ex 978  df-sb 1168  df-eu 1375  df-mo 1376  df-clab 1457  df-cleq 1462  df-clel 1465  df-ne 1579  df-ral 1641  df-rex 1642  df-v 1803  df-dif 2039  df-un 2040  df-in 2041  df-ss 2043  df-nul 2271  df-pw 2392  df-sn 2402  df-pr 2403  df-op 2406  df-uni 2494  df-br 2610  df-opab 2657  df-xp 3174  df-rel 3175  df-cnv 3176  df-dm 3178  df-rn 3179  df-res 3180  df-ima 3181  df-fv 3188  df-opr 3950

Copyright terms: Public domain