Theorem oprssdm 4037

Description: Domain of closure of an operation.

Hypotheses

Ref	Expression
oprssdm.1	|- -. (/) e. S
oprssdm.2	|- ((x e. S /\ y e. S) -> (xFy) e. S)

Assertion

Ref	Expression
oprssdm	|- (S X. S) (_ dom F

Distinct variable groups:   x,y,S   x,F,y

Proof of Theorem oprssdm

Step	Hyp	Ref	Expression
1		relxp 3251	. 2 |- Rel (S X. S)
2		visset 1810	. . . 4 |- y e. V
3	2	opelxp 3210	. . 3 |- (<.x, y>. e. (S X. S) <-> (x e. S /\ y e. S))
4		ndmfv 3740	. . . . 5 |- (-. <.x, y>. e. dom F -> (F` <.x, y>.) = (/))
5		df-opr 3960	. . . . . . 7 |- (xFy) = (F` <.x, y>.)
6	5	eqeq1i 1480	. . . . . 6 |- ((xFy) = (/) <-> (F` <.x, y>.) = (/))
7		oprssdm.1	. . . . . . . 8 |- -. (/) e. S
8		eleq1 1532	. . . . . . . 8 |- ((xFy) = (/) -> ((xFy) e. S <-> (/) e. S))
9	7, 8	mtbiri 716	. . . . . . 7 |- ((xFy) = (/) -> -. (xFy) e. S)
10		oprssdm.2	. . . . . . 7 |- ((x e. S /\ y e. S) -> (xFy) e. S)
11	9, 10	nsyl 116	. . . . . 6 |- ((xFy) = (/) -> -. (x e. S /\ y e. S))
12	6, 11	sylbir 201	. . . . 5 |- ((F` <.x, y>.) = (/) -> -. (x e. S /\ y e. S))
13	4, 12	syl 10	. . . 4 |- (-. <.x, y>. e. dom F -> -. (x e. S /\ y e. S))
14	13	a3i 74	. . 3 |- ((x e. S /\ y e. S) -> <.x, y>. e. dom F)
15	3, 14	sylbi 199	. 2 |- (<.x, y>. e. (S X. S) -> <.x, y>. e. dom F)
16	1, 15	relssi 3244	1 |- (S X. S) (_ dom F

Syntax hints:  -. wn 2   -> wi 3   /\ wa 223   = wceq 955   e. wcel 957   (_ wss 2044  (/)c0 2277  <.cop 2408   X. cxp 3164  dom cdm 3166  ` cfv 3178  (class class class)co 3958

This theorem is referenced by:  dmaddpq 5042  dmmulpq 5044  dmaddsr 5177  dmmulsr 5178  axaddopr 5248  axmulopr 5249

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 961  ax-gen 962  ax-8 963  ax-10 965  ax-11 966  ax-12 967  ax-13 968  ax-14 969  ax-17 970  ax-4 972  ax-5o 974  ax-6o 977  ax-9o 1122  ax-10o 1139  ax-16 1209  ax-11o 1217  ax-ext 1458  ax-sep 2699  ax-pow 2738  ax-pr 2775

This theorem depends on definitions:  df-bi 147  df-or 224  df-an 225  df-ex 980  df-sb 1171  df-eu 1381  df-mo 1382  df-clab 1463  df-cleq 1468  df-clel 1471  df-ne 1585  df-ral 1647  df-rex 1648  df-v 1809  df-dif 2046  df-un 2047  df-in 2048  df-ss 2050  df-nul 2278  df-pw 2399  df-sn 2409  df-pr 2410  df-op 2413  df-uni 2500  df-br 2616  df-opab 2663  df-xp 3180  df-rel 3181  df-cnv 3182  df-dm 3184  df-rn 3185  df-res 3186  df-ima 3187  df-fv 3194  df-opr 3960

Copyright terms: Public domain