Theorem oprvalres 4018

Description: The value of a restricted operation. (Contributed by FL, 10-Nov-2006.)

Assertion

Ref	Expression
oprvalres	|- ((A e. C /\ B e. D) -> (A(F |` (C X. D))B) = (AFB))

Proof of Theorem oprvalres

Step	Hyp	Ref	Expression
1		opelxpi 3207	. . 3 |- ((A e. C /\ B e. D) -> <.A, B>. e. (C X. D))
2		fvres 3719	. . 3 |- (<.A, B>. e. (C X. D) -> ((F |` (C X. D))` <.A, B>.) = (F` <.A, B>.))
3	1, 2	syl 10	. 2 |- ((A e. C /\ B e. D) -> ((F |` (C X. D))` <.A, B>.) = (F` <.A, B>.))
4		df-opr 3950	. 2 |- (A(F |` (C X. D))B) = ((F |` (C X. D))` <.A, B>.)
5		df-opr 3950	. 2 |- (AFB) = (F` <.A, B>.)
6	3, 4, 5	3eqtr4g 1523	1 |- ((A e. C /\ B e. D) -> (A(F |` (C X. D))B) = (AFB))

Syntax hints:   -> wi 3   /\ wa 223   = wceq 953   e. wcel 955  <.cop 2401   X. cxp 3158   |` cres 3162  ` cfv 3172  (class class class)co 3948

This theorem is referenced by:  oprssoprval 4019  mulnzcnopr 5671  metreslem 7762  metcnss 7837  metcnss2 7838  cncfmet 7844  lmss 7888  caussi 7889  causs 7890  subgopr 8055  issubgi 8059  ablmul 8068  mulid 8069  ghgrpilem1 8070  sspgval 8322  sspsval 8324  sspmlem 8325  circoprvalOLD 8657  shftefif1olem 8661  hhssabl 9053  hhssnv 9054  hhssmetdval 9066

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 959  ax-gen 960  ax-8 961  ax-10 963  ax-11 964  ax-12 965  ax-13 966  ax-14 967  ax-17 968  ax-4 970  ax-5o 972  ax-6o 975  ax-9o 1119  ax-10o 1136  ax-16 1206  ax-11o 1213  ax-ext 1452  ax-sep 2693  ax-pow 2732  ax-pr 2769

This theorem depends on definitions:  df-bi 147  df-or 224  df-an 225  df-ex 978  df-sb 1168  df-eu 1375  df-mo 1376  df-clab 1457  df-cleq 1462  df-clel 1465  df-ne 1579  df-v 1803  df-dif 2039  df-un 2040  df-in 2041  df-ss 2043  df-nul 2271  df-pw 2392  df-sn 2402  df-pr 2403  df-op 2406  df-uni 2494  df-br 2610  df-opab 2657  df-xp 3174  df-rel 3175  df-cnv 3176  df-dm 3178  df-rn 3179  df-res 3180  df-ima 3181  df-fv 3188  df-opr 3950

Copyright terms: Public domain