MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  opsrtoslem1 Structured version   Unicode version

Theorem opsrtoslem1 16549
Description: Lemma for opsrtos 16551. (Contributed by Mario Carneiro, 8-Feb-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
opsrso.o  |-  O  =  ( ( I ordPwSer  R
) `  T )
opsrso.i  |-  ( ph  ->  I  e.  V )
opsrso.r  |-  ( ph  ->  R  e. Toset )
opsrso.t  |-  ( ph  ->  T  C_  ( I  X.  I ) )
opsrso.w  |-  ( ph  ->  T  We  I )
opsrtoslem.s  |-  S  =  ( I mPwSer  R )
opsrtoslem.b  |-  B  =  ( Base `  S
)
opsrtoslem.q  |-  .<  =  ( lt `  R )
opsrtoslem.c  |-  C  =  ( T  <bag  I )
opsrtoslem.d  |-  D  =  { h  e.  ( NN0  ^m  I )  |  ( `' h " NN )  e.  Fin }
opsrtoslem.ps  |-  ( ps  <->  E. z  e.  D  ( ( x `  z
)  .<  ( y `  z )  /\  A. w  e.  D  (
w C z  -> 
( x `  w
)  =  ( y `
 w ) ) ) )
opsrtoslem.l  |-  .<_  =  ( le `  O )
Assertion
Ref Expression
opsrtoslem1  |-  ( ph  -> 
.<_  =  ( ( {
<. x ,  y >.  |  ps }  i^i  ( B  X.  B ) )  u.  (  _I  |`  B ) ) )
Distinct variable groups:    x, y, B    x, w, y, z, C    w, h, x, y, z, I    ph, w, x, y, z    w, D, x, y, z    w,  .< , x, y, z    w, R, x, y, z    w, T, x, y, z
Allowed substitution hints:    ph( h)    ps( x, y, z, w, h)    B( z, w, h)    C( h)    D( h)    R( h)    S( x, y, z, w, h)    .< ( h)    T( h)    .<_ ( x, y, z, w, h)    O( x, y, z, w, h)    V( x, y, z, w, h)

Proof of Theorem opsrtoslem1
StepHypRef Expression
1 opsrtoslem.s . . 3  |-  S  =  ( I mPwSer  R )
2 opsrso.o . . 3  |-  O  =  ( ( I ordPwSer  R
) `  T )
3 opsrtoslem.b . . 3  |-  B  =  ( Base `  S
)
4 opsrtoslem.q . . 3  |-  .<  =  ( lt `  R )
5 opsrtoslem.c . . 3  |-  C  =  ( T  <bag  I )
6 opsrtoslem.d . . 3  |-  D  =  { h  e.  ( NN0  ^m  I )  |  ( `' h " NN )  e.  Fin }
7 opsrtoslem.l . . 3  |-  .<_  =  ( le `  O )
8 opsrso.t . . 3  |-  ( ph  ->  T  C_  ( I  X.  I ) )
91, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8opsrle 16541 . 2  |-  ( ph  -> 
.<_  =  { <. x ,  y >.  |  ( { x ,  y }  C_  B  /\  ( E. z  e.  D  ( ( x `  z )  .<  (
y `  z )  /\  A. w  e.  D  ( w C z  ->  ( x `  w )  =  ( y `  w ) ) )  \/  x  =  y ) ) } )
10 unopab 4287 . . 3  |-  ( {
<. x ,  y >.  |  ( { x ,  y }  C_  B  /\  ps ) }  u.  { <. x ,  y >.  |  ( { x ,  y }  C_  B  /\  x  =  y ) } )  =  { <. x ,  y >.  |  ( ( { x ,  y } 
C_  B  /\  ps )  \/  ( {
x ,  y } 
C_  B  /\  x  =  y ) ) }
11 inopab 5008 . . . . 5  |-  ( {
<. x ,  y >.  |  ps }  i^i  { <. x ,  y >.  |  ( x  e.  B  /\  y  e.  B ) } )  =  { <. x ,  y >.  |  ( ps  /\  ( x  e.  B  /\  y  e.  B ) ) }
12 df-xp 4887 . . . . . 6  |-  ( B  X.  B )  =  { <. x ,  y
>.  |  ( x  e.  B  /\  y  e.  B ) }
1312ineq2i 3541 . . . . 5  |-  ( {
<. x ,  y >.  |  ps }  i^i  ( B  X.  B ) )  =  ( { <. x ,  y >.  |  ps }  i^i  { <. x ,  y >.  |  ( x  e.  B  /\  y  e.  B ) } )
14 vex 2961 . . . . . . . . 9  |-  x  e. 
_V
15 vex 2961 . . . . . . . . 9  |-  y  e. 
_V
1614, 15prss 3954 . . . . . . . 8  |-  ( ( x  e.  B  /\  y  e.  B )  <->  { x ,  y } 
C_  B )
1716anbi1i 678 . . . . . . 7  |-  ( ( ( x  e.  B  /\  y  e.  B
)  /\  ps )  <->  ( { x ,  y }  C_  B  /\  ps ) )
18 ancom 439 . . . . . . 7  |-  ( ( ( x  e.  B  /\  y  e.  B
)  /\  ps )  <->  ( ps  /\  ( x  e.  B  /\  y  e.  B ) ) )
1917, 18bitr3i 244 . . . . . 6  |-  ( ( { x ,  y }  C_  B  /\  ps )  <->  ( ps  /\  ( x  e.  B  /\  y  e.  B
) ) )
2019opabbii 4275 . . . . 5  |-  { <. x ,  y >.  |  ( { x ,  y }  C_  B  /\  ps ) }  =  { <. x ,  y >.  |  ( ps  /\  ( x  e.  B  /\  y  e.  B
) ) }
2111, 13, 203eqtr4i 2468 . . . 4  |-  ( {
<. x ,  y >.  |  ps }  i^i  ( B  X.  B ) )  =  { <. x ,  y >.  |  ( { x ,  y }  C_  B  /\  ps ) }
22 opabresid 5197 . . . . 5  |-  { <. x ,  y >.  |  ( x  e.  B  /\  y  =  x ) }  =  (  _I  |`  B )
23 equcom 1693 . . . . . . . . 9  |-  ( x  =  y  <->  y  =  x )
2423anbi2i 677 . . . . . . . 8  |-  ( ( x  e.  B  /\  x  =  y )  <->  ( x  e.  B  /\  y  =  x )
)
25 eleq1 2498 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  =  y  ->  (
x  e.  B  <->  y  e.  B ) )
2625biimpac 474 . . . . . . . . 9  |-  ( ( x  e.  B  /\  x  =  y )  ->  y  e.  B )
2726pm4.71i 615 . . . . . . . 8  |-  ( ( x  e.  B  /\  x  =  y )  <->  ( ( x  e.  B  /\  x  =  y
)  /\  y  e.  B ) )
2824, 27bitr3i 244 . . . . . . 7  |-  ( ( x  e.  B  /\  y  =  x )  <->  ( ( x  e.  B  /\  x  =  y
)  /\  y  e.  B ) )
29 an32 775 . . . . . . 7  |-  ( ( ( x  e.  B  /\  x  =  y
)  /\  y  e.  B )  <->  ( (
x  e.  B  /\  y  e.  B )  /\  x  =  y
) )
3016anbi1i 678 . . . . . . 7  |-  ( ( ( x  e.  B  /\  y  e.  B
)  /\  x  =  y )  <->  ( {
x ,  y } 
C_  B  /\  x  =  y ) )
3128, 29, 303bitri 264 . . . . . 6  |-  ( ( x  e.  B  /\  y  =  x )  <->  ( { x ,  y }  C_  B  /\  x  =  y )
)
3231opabbii 4275 . . . . 5  |-  { <. x ,  y >.  |  ( x  e.  B  /\  y  =  x ) }  =  { <. x ,  y >.  |  ( { x ,  y }  C_  B  /\  x  =  y ) }
3322, 32eqtr3i 2460 . . . 4  |-  (  _I  |`  B )  =  { <. x ,  y >.  |  ( { x ,  y }  C_  B  /\  x  =  y ) }
3421, 33uneq12i 3501 . . 3  |-  ( ( { <. x ,  y
>.  |  ps }  i^i  ( B  X.  B
) )  u.  (  _I  |`  B ) )  =  ( { <. x ,  y >.  |  ( { x ,  y }  C_  B  /\  ps ) }  u.  { <. x ,  y >.  |  ( { x ,  y }  C_  B  /\  x  =  y ) } )
35 opsrtoslem.ps . . . . . . 7  |-  ( ps  <->  E. z  e.  D  ( ( x `  z
)  .<  ( y `  z )  /\  A. w  e.  D  (
w C z  -> 
( x `  w
)  =  ( y `
 w ) ) ) )
3635orbi1i 508 . . . . . 6  |-  ( ( ps  \/  x  =  y )  <->  ( E. z  e.  D  (
( x `  z
)  .<  ( y `  z )  /\  A. w  e.  D  (
w C z  -> 
( x `  w
)  =  ( y `
 w ) ) )  \/  x  =  y ) )
3736anbi2i 677 . . . . 5  |-  ( ( { x ,  y }  C_  B  /\  ( ps  \/  x  =  y ) )  <-> 
( { x ,  y }  C_  B  /\  ( E. z  e.  D  ( ( x `
 z )  .< 
( y `  z
)  /\  A. w  e.  D  ( w C z  ->  (
x `  w )  =  ( y `  w ) ) )  \/  x  =  y ) ) )
38 andi 839 . . . . 5  |-  ( ( { x ,  y }  C_  B  /\  ( ps  \/  x  =  y ) )  <-> 
( ( { x ,  y }  C_  B  /\  ps )  \/  ( { x ,  y }  C_  B  /\  x  =  y
) ) )
3937, 38bitr3i 244 . . . 4  |-  ( ( { x ,  y }  C_  B  /\  ( E. z  e.  D  ( ( x `  z )  .<  (
y `  z )  /\  A. w  e.  D  ( w C z  ->  ( x `  w )  =  ( y `  w ) ) )  \/  x  =  y ) )  <-> 
( ( { x ,  y }  C_  B  /\  ps )  \/  ( { x ,  y }  C_  B  /\  x  =  y
) ) )
4039opabbii 4275 . . 3  |-  { <. x ,  y >.  |  ( { x ,  y }  C_  B  /\  ( E. z  e.  D  ( ( x `  z )  .<  (
y `  z )  /\  A. w  e.  D  ( w C z  ->  ( x `  w )  =  ( y `  w ) ) )  \/  x  =  y ) ) }  =  { <. x ,  y >.  |  ( ( { x ,  y }  C_  B  /\  ps )  \/  ( { x ,  y }  C_  B  /\  x  =  y )
) }
4110, 34, 403eqtr4ri 2469 . 2  |-  { <. x ,  y >.  |  ( { x ,  y }  C_  B  /\  ( E. z  e.  D  ( ( x `  z )  .<  (
y `  z )  /\  A. w  e.  D  ( w C z  ->  ( x `  w )  =  ( y `  w ) ) )  \/  x  =  y ) ) }  =  ( ( { <. x ,  y
>.  |  ps }  i^i  ( B  X.  B
) )  u.  (  _I  |`  B ) )
429, 41syl6eq 2486 1  |-  ( ph  -> 
.<_  =  ( ( {
<. x ,  y >.  |  ps }  i^i  ( B  X.  B ) )  u.  (  _I  |`  B ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 178    \/ wo 359    /\ wa 360    = wceq 1653    e. wcel 1726   A.wral 2707   E.wrex 2708   {crab 2711    u. cun 3320    i^i cin 3321    C_ wss 3322   {cpr 3817   class class class wbr 4215   {copab 4268    _I cid 4496    We wwe 4543    X. cxp 4879   `'ccnv 4880    |` cres 4883   "cima 4884   ` cfv 5457  (class class class)co 6084    ^m cmap 7021   Fincfn 7112   NNcn 10005   NN0cn0 10226   Basecbs 13474   lecple 13541   ltcplt 14403  Tosetctos 14467   mPwSer cmps 16411    <bag cltb 16418   ordPwSer copws 16419
This theorem is referenced by:  opsrtoslem2  16550
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1556  ax-5 1567  ax-17 1627  ax-9 1667  ax-8 1688  ax-13 1728  ax-14 1730  ax-6 1745  ax-7 1750  ax-11 1762  ax-12 1951  ax-ext 2419  ax-rep 4323  ax-sep 4333  ax-nul 4341  ax-pow 4380  ax-pr 4406  ax-un 4704  ax-cnex 9051  ax-resscn 9052  ax-1cn 9053  ax-icn 9054  ax-addcl 9055  ax-addrcl 9056  ax-mulcl 9057  ax-mulrcl 9058  ax-i2m1 9063  ax-1ne0 9064  ax-rrecex 9067  ax-cnre 9068
This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3or 938  df-3an 939  df-tru 1329  df-ex 1552  df-nf 1555  df-sb 1660  df-eu 2287  df-mo 2288  df-clab 2425  df-cleq 2431  df-clel 2434  df-nfc 2563  df-ne 2603  df-ral 2712  df-rex 2713  df-reu 2714  df-rab 2716  df-v 2960  df-sbc 3164  df-csb 3254  df-dif 3325  df-un 3327  df-in 3329  df-ss 3336  df-pss 3338  df-nul 3631  df-if 3742  df-pw 3803  df-sn 3822  df-pr 3823  df-tp 3824  df-op 3825  df-uni 4018  df-iun 4097  df-br 4216  df-opab 4270  df-mpt 4271  df-tr 4306  df-eprel 4497  df-id 4501  df-po 4506  df-so 4507  df-fr 4544  df-we 4546  df-ord 4587  df-on 4588  df-lim 4589  df-suc 4590  df-om 4849  df-xp 4887  df-rel 4888  df-cnv 4889  df-co 4890  df-dm 4891  df-rn 4892  df-res 4893  df-ima 4894  df-iota 5421  df-fun 5459  df-fn 5460  df-f 5461  df-f1 5462  df-fo 5463  df-f1o 5464  df-fv 5465  df-ov 6087  df-oprab 6088  df-mpt2 6089  df-recs 6636  df-rdg 6671  df-nn 10006  df-2 10063  df-3 10064  df-4 10065  df-5 10066  df-6 10067  df-7 10068  df-8 10069  df-9 10070  df-10 10071  df-ndx 13477  df-slot 13478  df-base 13479  df-sets 13480  df-ple 13554  df-psr 16422  df-opsr 16430
  Copyright terms: Public domain W3C validator