MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  opsrtoslem1 Structured version   Unicode version

Theorem opsrtoslem1 16536
Description: Lemma for opsrtos 16538. (Contributed by Mario Carneiro, 8-Feb-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
opsrso.o  |-  O  =  ( ( I ordPwSer  R
) `  T )
opsrso.i  |-  ( ph  ->  I  e.  V )
opsrso.r  |-  ( ph  ->  R  e. Toset )
opsrso.t  |-  ( ph  ->  T  C_  ( I  X.  I ) )
opsrso.w  |-  ( ph  ->  T  We  I )
opsrtoslem.s  |-  S  =  ( I mPwSer  R )
opsrtoslem.b  |-  B  =  ( Base `  S
)
opsrtoslem.q  |-  .<  =  ( lt `  R )
opsrtoslem.c  |-  C  =  ( T  <bag  I )
opsrtoslem.d  |-  D  =  { h  e.  ( NN0  ^m  I )  |  ( `' h " NN )  e.  Fin }
opsrtoslem.ps  |-  ( ps  <->  E. z  e.  D  ( ( x `  z
)  .<  ( y `  z )  /\  A. w  e.  D  (
w C z  -> 
( x `  w
)  =  ( y `
 w ) ) ) )
opsrtoslem.l  |-  .<_  =  ( le `  O )
Assertion
Ref Expression
opsrtoslem1  |-  ( ph  -> 
.<_  =  ( ( {
<. x ,  y >.  |  ps }  i^i  ( B  X.  B ) )  u.  (  _I  |`  B ) ) )
Distinct variable groups:    x, y, B    x, w, y, z, C    w, h, x, y, z, I    ph, w, x, y, z    w, D, x, y, z    w,  .< , x, y, z    w, R, x, y, z    w, T, x, y, z
Allowed substitution hints:    ph( h)    ps( x, y, z, w, h)    B( z, w, h)    C( h)    D( h)    R( h)    S( x, y, z, w, h)    .< ( h)    T( h)    .<_ ( x, y, z, w, h)    O( x, y, z, w, h)    V( x, y, z, w, h)

Proof of Theorem opsrtoslem1
StepHypRef Expression
1 opsrtoslem.s . . 3  |-  S  =  ( I mPwSer  R )
2 opsrso.o . . 3  |-  O  =  ( ( I ordPwSer  R
) `  T )
3 opsrtoslem.b . . 3  |-  B  =  ( Base `  S
)
4 opsrtoslem.q . . 3  |-  .<  =  ( lt `  R )
5 opsrtoslem.c . . 3  |-  C  =  ( T  <bag  I )
6 opsrtoslem.d . . 3  |-  D  =  { h  e.  ( NN0  ^m  I )  |  ( `' h " NN )  e.  Fin }
7 opsrtoslem.l . . 3  |-  .<_  =  ( le `  O )
8 opsrso.t . . 3  |-  ( ph  ->  T  C_  ( I  X.  I ) )
91, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8opsrle 16528 . 2  |-  ( ph  -> 
.<_  =  { <. x ,  y >.  |  ( { x ,  y }  C_  B  /\  ( E. z  e.  D  ( ( x `  z )  .<  (
y `  z )  /\  A. w  e.  D  ( w C z  ->  ( x `  w )  =  ( y `  w ) ) )  \/  x  =  y ) ) } )
10 unopab 4276 . . 3  |-  ( {
<. x ,  y >.  |  ( { x ,  y }  C_  B  /\  ps ) }  u.  { <. x ,  y >.  |  ( { x ,  y }  C_  B  /\  x  =  y ) } )  =  { <. x ,  y >.  |  ( ( { x ,  y } 
C_  B  /\  ps )  \/  ( {
x ,  y } 
C_  B  /\  x  =  y ) ) }
11 inopab 4997 . . . . 5  |-  ( {
<. x ,  y >.  |  ps }  i^i  { <. x ,  y >.  |  ( x  e.  B  /\  y  e.  B ) } )  =  { <. x ,  y >.  |  ( ps  /\  ( x  e.  B  /\  y  e.  B ) ) }
12 df-xp 4876 . . . . . 6  |-  ( B  X.  B )  =  { <. x ,  y
>.  |  ( x  e.  B  /\  y  e.  B ) }
1312ineq2i 3531 . . . . 5  |-  ( {
<. x ,  y >.  |  ps }  i^i  ( B  X.  B ) )  =  ( { <. x ,  y >.  |  ps }  i^i  { <. x ,  y >.  |  ( x  e.  B  /\  y  e.  B ) } )
14 vex 2951 . . . . . . . . 9  |-  x  e. 
_V
15 vex 2951 . . . . . . . . 9  |-  y  e. 
_V
1614, 15prss 3944 . . . . . . . 8  |-  ( ( x  e.  B  /\  y  e.  B )  <->  { x ,  y } 
C_  B )
1716anbi1i 677 . . . . . . 7  |-  ( ( ( x  e.  B  /\  y  e.  B
)  /\  ps )  <->  ( { x ,  y }  C_  B  /\  ps ) )
18 ancom 438 . . . . . . 7  |-  ( ( ( x  e.  B  /\  y  e.  B
)  /\  ps )  <->  ( ps  /\  ( x  e.  B  /\  y  e.  B ) ) )
1917, 18bitr3i 243 . . . . . 6  |-  ( ( { x ,  y }  C_  B  /\  ps )  <->  ( ps  /\  ( x  e.  B  /\  y  e.  B
) ) )
2019opabbii 4264 . . . . 5  |-  { <. x ,  y >.  |  ( { x ,  y }  C_  B  /\  ps ) }  =  { <. x ,  y >.  |  ( ps  /\  ( x  e.  B  /\  y  e.  B
) ) }
2111, 13, 203eqtr4i 2465 . . . 4  |-  ( {
<. x ,  y >.  |  ps }  i^i  ( B  X.  B ) )  =  { <. x ,  y >.  |  ( { x ,  y }  C_  B  /\  ps ) }
22 opabresid 5186 . . . . 5  |-  { <. x ,  y >.  |  ( x  e.  B  /\  y  =  x ) }  =  (  _I  |`  B )
23 equcom 1692 . . . . . . . . 9  |-  ( x  =  y  <->  y  =  x )
2423anbi2i 676 . . . . . . . 8  |-  ( ( x  e.  B  /\  x  =  y )  <->  ( x  e.  B  /\  y  =  x )
)
25 eleq1 2495 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  =  y  ->  (
x  e.  B  <->  y  e.  B ) )
2625biimpac 473 . . . . . . . . 9  |-  ( ( x  e.  B  /\  x  =  y )  ->  y  e.  B )
2726pm4.71i 614 . . . . . . . 8  |-  ( ( x  e.  B  /\  x  =  y )  <->  ( ( x  e.  B  /\  x  =  y
)  /\  y  e.  B ) )
2824, 27bitr3i 243 . . . . . . 7  |-  ( ( x  e.  B  /\  y  =  x )  <->  ( ( x  e.  B  /\  x  =  y
)  /\  y  e.  B ) )
29 an32 774 . . . . . . 7  |-  ( ( ( x  e.  B  /\  x  =  y
)  /\  y  e.  B )  <->  ( (
x  e.  B  /\  y  e.  B )  /\  x  =  y
) )
3016anbi1i 677 . . . . . . 7  |-  ( ( ( x  e.  B  /\  y  e.  B
)  /\  x  =  y )  <->  ( {
x ,  y } 
C_  B  /\  x  =  y ) )
3128, 29, 303bitri 263 . . . . . 6  |-  ( ( x  e.  B  /\  y  =  x )  <->  ( { x ,  y }  C_  B  /\  x  =  y )
)
3231opabbii 4264 . . . . 5  |-  { <. x ,  y >.  |  ( x  e.  B  /\  y  =  x ) }  =  { <. x ,  y >.  |  ( { x ,  y }  C_  B  /\  x  =  y ) }
3322, 32eqtr3i 2457 . . . 4  |-  (  _I  |`  B )  =  { <. x ,  y >.  |  ( { x ,  y }  C_  B  /\  x  =  y ) }
3421, 33uneq12i 3491 . . 3  |-  ( ( { <. x ,  y
>.  |  ps }  i^i  ( B  X.  B
) )  u.  (  _I  |`  B ) )  =  ( { <. x ,  y >.  |  ( { x ,  y }  C_  B  /\  ps ) }  u.  { <. x ,  y >.  |  ( { x ,  y }  C_  B  /\  x  =  y ) } )
35 opsrtoslem.ps . . . . . . 7  |-  ( ps  <->  E. z  e.  D  ( ( x `  z
)  .<  ( y `  z )  /\  A. w  e.  D  (
w C z  -> 
( x `  w
)  =  ( y `
 w ) ) ) )
3635orbi1i 507 . . . . . 6  |-  ( ( ps  \/  x  =  y )  <->  ( E. z  e.  D  (
( x `  z
)  .<  ( y `  z )  /\  A. w  e.  D  (
w C z  -> 
( x `  w
)  =  ( y `
 w ) ) )  \/  x  =  y ) )
3736anbi2i 676 . . . . 5  |-  ( ( { x ,  y }  C_  B  /\  ( ps  \/  x  =  y ) )  <-> 
( { x ,  y }  C_  B  /\  ( E. z  e.  D  ( ( x `
 z )  .< 
( y `  z
)  /\  A. w  e.  D  ( w C z  ->  (
x `  w )  =  ( y `  w ) ) )  \/  x  =  y ) ) )
38 andi 838 . . . . 5  |-  ( ( { x ,  y }  C_  B  /\  ( ps  \/  x  =  y ) )  <-> 
( ( { x ,  y }  C_  B  /\  ps )  \/  ( { x ,  y }  C_  B  /\  x  =  y
) ) )
3937, 38bitr3i 243 . . . 4  |-  ( ( { x ,  y }  C_  B  /\  ( E. z  e.  D  ( ( x `  z )  .<  (
y `  z )  /\  A. w  e.  D  ( w C z  ->  ( x `  w )  =  ( y `  w ) ) )  \/  x  =  y ) )  <-> 
( ( { x ,  y }  C_  B  /\  ps )  \/  ( { x ,  y }  C_  B  /\  x  =  y
) ) )
4039opabbii 4264 . . 3  |-  { <. x ,  y >.  |  ( { x ,  y }  C_  B  /\  ( E. z  e.  D  ( ( x `  z )  .<  (
y `  z )  /\  A. w  e.  D  ( w C z  ->  ( x `  w )  =  ( y `  w ) ) )  \/  x  =  y ) ) }  =  { <. x ,  y >.  |  ( ( { x ,  y }  C_  B  /\  ps )  \/  ( { x ,  y }  C_  B  /\  x  =  y )
) }
4110, 34, 403eqtr4ri 2466 . 2  |-  { <. x ,  y >.  |  ( { x ,  y }  C_  B  /\  ( E. z  e.  D  ( ( x `  z )  .<  (
y `  z )  /\  A. w  e.  D  ( w C z  ->  ( x `  w )  =  ( y `  w ) ) )  \/  x  =  y ) ) }  =  ( ( { <. x ,  y
>.  |  ps }  i^i  ( B  X.  B
) )  u.  (  _I  |`  B ) )
429, 41syl6eq 2483 1  |-  ( ph  -> 
.<_  =  ( ( {
<. x ,  y >.  |  ps }  i^i  ( B  X.  B ) )  u.  (  _I  |`  B ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 177    \/ wo 358    /\ wa 359    = wceq 1652    e. wcel 1725   A.wral 2697   E.wrex 2698   {crab 2701    u. cun 3310    i^i cin 3311    C_ wss 3312   {cpr 3807   class class class wbr 4204   {copab 4257    _I cid 4485    We wwe 4532    X. cxp 4868   `'ccnv 4869    |` cres 4872   "cima 4873   ` cfv 5446  (class class class)co 6073    ^m cmap 7010   Fincfn 7101   NNcn 9992   NN0cn0 10213   Basecbs 13461   lecple 13528   ltcplt 14390  Tosetctos 14454   mPwSer cmps 16398    <bag cltb 16405   ordPwSer copws 16406
This theorem is referenced by:  opsrtoslem2  16537
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1555  ax-5 1566  ax-17 1626  ax-9 1666  ax-8 1687  ax-13 1727  ax-14 1729  ax-6 1744  ax-7 1749  ax-11 1761  ax-12 1950  ax-ext 2416  ax-rep 4312  ax-sep 4322  ax-nul 4330  ax-pow 4369  ax-pr 4395  ax-un 4693  ax-cnex 9038  ax-resscn 9039  ax-1cn 9040  ax-icn 9041  ax-addcl 9042  ax-addrcl 9043  ax-mulcl 9044  ax-mulrcl 9045  ax-i2m1 9050  ax-1ne0 9051  ax-rrecex 9054  ax-cnre 9055
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1328  df-ex 1551  df-nf 1554  df-sb 1659  df-eu 2284  df-mo 2285  df-clab 2422  df-cleq 2428  df-clel 2431  df-nfc 2560  df-ne 2600  df-ral 2702  df-rex 2703  df-reu 2704  df-rab 2706  df-v 2950  df-sbc 3154  df-csb 3244  df-dif 3315  df-un 3317  df-in 3319  df-ss 3326  df-pss 3328  df-nul 3621  df-if 3732  df-pw 3793  df-sn 3812  df-pr 3813  df-tp 3814  df-op 3815  df-uni 4008  df-iun 4087  df-br 4205  df-opab 4259  df-mpt 4260  df-tr 4295  df-eprel 4486  df-id 4490  df-po 4495  df-so 4496  df-fr 4533  df-we 4535  df-ord 4576  df-on 4577  df-lim 4578  df-suc 4579  df-om 4838  df-xp 4876  df-rel 4877  df-cnv 4878  df-co 4879  df-dm 4880  df-rn 4881  df-res 4882  df-ima 4883  df-iota 5410  df-fun 5448  df-fn 5449  df-f 5450  df-f1 5451  df-fo 5452  df-f1o 5453  df-fv 5454  df-ov 6076  df-oprab 6077  df-mpt2 6078  df-recs 6625  df-rdg 6660  df-nn 9993  df-2 10050  df-3 10051  df-4 10052  df-5 10053  df-6 10054  df-7 10055  df-8 10056  df-9 10057  df-10 10058  df-ndx 13464  df-slot 13465  df-base 13466  df-sets 13467  df-ple 13541  df-psr 16409  df-opsr 16417
  Copyright terms: Public domain W3C validator