Theorem optocl 3230

Description: Implicit substitution of class for ordered pair.

Hypotheses

Ref	Expression
optocl.1	|- D = (B X. C)
optocl.2	|- (<.x, y>. = A -> (ph <-> ps))
optocl.3	|- ((x e. B /\ y e. C) -> ph)

Assertion

Ref	Expression
optocl	|- (A e. D -> ps)

Distinct variable groups:   x,y,A   x,B,y   x,C,y   ps,x,y

Proof of Theorem optocl

Step	Hyp	Ref	Expression
1		optocl.1	. . 3 |- D = (B X. C)
2	1	eleq2i 1535	. 2 |- (A e. D <-> A e. (B X. C))
3		elxp3 3219	. . 3 |- (A e. (B X. C) <-> E.xE.y(<.x, y>. = A /\ <.x, y>. e. (B X. C)))
4		optocl.2	. . . . . 6 |- (<.x, y>. = A -> (ph <-> ps))
5		visset 1809	. . . . . . . 8 |- y e. V
6	5	opelxp 3209	. . . . . . 7 |- (<.x, y>. e. (B X. C) <-> (x e. B /\ y e. C))
7		optocl.3	. . . . . . 7 |- ((x e. B /\ y e. C) -> ph)
8	6, 7	sylbi 199	. . . . . 6 |- (<.x, y>. e. (B X. C) -> ph)
9	4, 8	syl5bi 208	. . . . 5 |- (<.x, y>. = A -> (<.x, y>. e. (B X. C) -> ps))
10	9	imp 350	. . . 4 |- ((<.x, y>. = A /\ <.x, y>. e. (B X. C)) -> ps)
11	10	19.23aivv 1294	. . 3 |- (E.xE.y(<.x, y>. = A /\ <.x, y>. e. (B X. C)) -> ps)
12	3, 11	sylbi 199	. 2 |- (A e. (B X. C) -> ps)
13	2, 12	sylbi 199	1 |- (A e. D -> ps)

Syntax hints:   -> wi 3   <-> wb 146   /\ wa 223   = wceq 954   e. wcel 956  E.wex 978  <.cop 2407   X. cxp 3163

This theorem is referenced by:  2optocl 3231  3optocl 3232  ecoptocl 4293  ax0id 5261  ax1id 5262  axcnre 5266

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 960  ax-gen 961  ax-8 962  ax-10 964  ax-11 965  ax-12 966  ax-13 967  ax-14 968  ax-17 969  ax-4 971  ax-5o 973  ax-6o 976  ax-9o 1121  ax-10o 1138  ax-16 1208  ax-11o 1216  ax-ext 1457  ax-sep 2698  ax-pow 2737  ax-pr 2774

This theorem depends on definitions:  df-bi 147  df-or 224  df-an 225  df-ex 979  df-sb 1170  df-eu 1380  df-mo 1381  df-clab 1462  df-cleq 1467  df-clel 1470  df-ne 1584  df-v 1808  df-dif 2045  df-un 2046  df-in 2047  df-ss 2049  df-nul 2277  df-pw 2398  df-sn 2408  df-pr 2409  df-op 2412  df-opab 2662  df-xp 3179

Copyright terms: Public domain