Theorem ord0eln0 3013

Description: A non-empty ordinal contains the empty set.

Assertion

Ref	Expression
ord0eln0	|- (Ord A -> ((/) e. A <-> A =/= (/)))

Proof of Theorem ord0eln0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ne0i 2276	. 2 |- ((/) e. A -> A =/= (/))
2		ord0 3011	. . . . 5 |- Ord (/)
3		noel 2274	. . . . . 6 |- -. A e. (/)
4		ordtri2 2972	. . . . . . 7 |- ((Ord A /\ Ord (/)) -> (A e. (/) <-> -. (A = (/) \/ (/) e. A)))
5	4	con2bid 524	. . . . . 6 |- ((Ord A /\ Ord (/)) -> ((A = (/) \/ (/) e. A) <-> -. A e. (/)))
6	3, 5	mpbiri 194	. . . . 5 |- ((Ord A /\ Ord (/)) -> (A = (/) \/ (/) e. A))
7	2, 6	mpan2 694	. . . 4 |- (Ord A -> (A = (/) \/ (/) e. A))
8	7	ord 232	. . 3 |- (Ord A -> (-. A = (/) -> (/) e. A))
9		df-ne 1579	. . 3 |- (A =/= (/) <-> -. A = (/))
10	8, 9	syl5ib 206	. 2 |- (Ord A -> (A =/= (/) -> (/) e. A))
11	1, 10	impbid2 516	1 |- (Ord A -> ((/) e. A <-> A =/= (/)))

Syntax hints:  -. wn 2   -> wi 3   <-> wb 146   \/ wo 222   /\ wa 223   = wceq 953   e. wcel 955   =/= wne 1577  (/)c0 2270  Ord word 2937

This theorem is referenced by:  on0eln0 3014  dflim2 3015  0ellim 3021  0elsuc 3082  ordge1n0 4129  omwordi 4186  omass 4195  elni2 4977

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 959  ax-gen 960  ax-8 961  ax-10 963  ax-11 964  ax-12 965  ax-13 966  ax-14 967  ax-17 968  ax-4 970  ax-5o 972  ax-6o 975  ax-9o 1119  ax-10o 1136  ax-16 1206  ax-11o 1213  ax-ext 1452  ax-sep 2693  ax-pow 2732  ax-pr 2769

This theorem depends on definitions:  df-bi 147  df-or 224  df-an 225  df-3or 774  df-3an 775  df-ex 978  df-sb 1168  df-eu 1375  df-mo 1376  df-clab 1457  df-cleq 1462  df-clel 1465  df-ne 1579  df-ral 1641  df-rex 1642  df-v 1803  df-dif 2039  df-un 2040  df-in 2041  df-ss 2043  df-nul 2271  df-pw 2392  df-sn 2402  df-pr 2403  df-op 2406  df-uni 2494  df-br 2610  df-opab 2657  df-tr 2671  df-eprel 2821  df-po 2831  df-so 2841  df-fr 2907  df-we 2924  df-ord 2941

Copyright terms: Public domain