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Theorem ordelord 4595
Description: An element of an ordinal class is ordinal. Proposition 7.6 of [TakeutiZaring] p. 36. (Contributed by NM, 23-Apr-1994.)
Assertion
Ref Expression
ordelord  |-  ( ( Ord  A  /\  B  e.  A )  ->  Ord  B )

Proof of Theorem ordelord
Dummy variables  x  y  z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eleq1 2495 . . . . 5  |-  ( x  =  B  ->  (
x  e.  A  <->  B  e.  A ) )
21anbi2d 685 . . . 4  |-  ( x  =  B  ->  (
( Ord  A  /\  x  e.  A )  <->  ( Ord  A  /\  B  e.  A ) ) )
3 ordeq 4580 . . . 4  |-  ( x  =  B  ->  ( Ord  x  <->  Ord  B ) )
42, 3imbi12d 312 . . 3  |-  ( x  =  B  ->  (
( ( Ord  A  /\  x  e.  A
)  ->  Ord  x )  <-> 
( ( Ord  A  /\  B  e.  A
)  ->  Ord  B ) ) )
5 simpll 731 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( Ord  A  /\  x  e.  A )  /\  ( z  e.  y  /\  y  e.  x
) )  ->  Ord  A )
6 3anrot 941 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( x  e.  A  /\  z  e.  y  /\  y  e.  x )  <->  ( z  e.  y  /\  y  e.  x  /\  x  e.  A )
)
7 3anass 940 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( x  e.  A  /\  z  e.  y  /\  y  e.  x )  <->  ( x  e.  A  /\  ( z  e.  y  /\  y  e.  x
) ) )
86, 7bitr3i 243 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( z  e.  y  /\  y  e.  x  /\  x  e.  A )  <->  ( x  e.  A  /\  ( z  e.  y  /\  y  e.  x
) ) )
9 ordtr 4587 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( Ord 
A  ->  Tr  A
)
10 trel3 4302 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( Tr  A  ->  ( (
z  e.  y  /\  y  e.  x  /\  x  e.  A )  ->  z  e.  A ) )
119, 10syl 16 . . . . . . . . . . 11  |-  ( Ord 
A  ->  ( (
z  e.  y  /\  y  e.  x  /\  x  e.  A )  ->  z  e.  A ) )
128, 11syl5bir 210 . . . . . . . . . 10  |-  ( Ord 
A  ->  ( (
x  e.  A  /\  ( z  e.  y  /\  y  e.  x
) )  ->  z  e.  A ) )
1312impl 604 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( Ord  A  /\  x  e.  A )  /\  ( z  e.  y  /\  y  e.  x
) )  ->  z  e.  A )
14 trel 4301 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( Tr  A  ->  ( (
y  e.  x  /\  x  e.  A )  ->  y  e.  A ) )
159, 14syl 16 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( Ord 
A  ->  ( (
y  e.  x  /\  x  e.  A )  ->  y  e.  A ) )
1615exp3acom23 1381 . . . . . . . . . . 11  |-  ( Ord 
A  ->  ( x  e.  A  ->  ( y  e.  x  ->  y  e.  A ) ) )
1716imp31 422 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( Ord  A  /\  x  e.  A )  /\  y  e.  x
)  ->  y  e.  A )
1817adantrl 697 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( Ord  A  /\  x  e.  A )  /\  ( z  e.  y  /\  y  e.  x
) )  ->  y  e.  A )
19 simplr 732 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( Ord  A  /\  x  e.  A )  /\  ( z  e.  y  /\  y  e.  x
) )  ->  x  e.  A )
20 ordwe 4586 . . . . . . . . . 10  |-  ( Ord 
A  ->  _E  We  A )
21 wetrep 4567 . . . . . . . . . 10  |-  ( (  _E  We  A  /\  ( z  e.  A  /\  y  e.  A  /\  x  e.  A
) )  ->  (
( z  e.  y  /\  y  e.  x
)  ->  z  e.  x ) )
2220, 21sylan 458 . . . . . . . . 9  |-  ( ( Ord  A  /\  (
z  e.  A  /\  y  e.  A  /\  x  e.  A )
)  ->  ( (
z  e.  y  /\  y  e.  x )  ->  z  e.  x ) )
235, 13, 18, 19, 22syl13anc 1186 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( Ord  A  /\  x  e.  A )  /\  ( z  e.  y  /\  y  e.  x
) )  ->  (
( z  e.  y  /\  y  e.  x
)  ->  z  e.  x ) )
2423ex 424 . . . . . . 7  |-  ( ( Ord  A  /\  x  e.  A )  ->  (
( z  e.  y  /\  y  e.  x
)  ->  ( (
z  e.  y  /\  y  e.  x )  ->  z  e.  x ) ) )
2524pm2.43d 46 . . . . . 6  |-  ( ( Ord  A  /\  x  e.  A )  ->  (
( z  e.  y  /\  y  e.  x
)  ->  z  e.  x ) )
2625alrimivv 1642 . . . . 5  |-  ( ( Ord  A  /\  x  e.  A )  ->  A. z A. y ( ( z  e.  y  /\  y  e.  x )  ->  z  e.  x ) )
27 dftr2 4296 . . . . 5  |-  ( Tr  x  <->  A. z A. y
( ( z  e.  y  /\  y  e.  x )  ->  z  e.  x ) )
2826, 27sylibr 204 . . . 4  |-  ( ( Ord  A  /\  x  e.  A )  ->  Tr  x )
29 trss 4303 . . . . . . 7  |-  ( Tr  A  ->  ( x  e.  A  ->  x  C_  A ) )
309, 29syl 16 . . . . . 6  |-  ( Ord 
A  ->  ( x  e.  A  ->  x  C_  A ) )
31 wess 4561 . . . . . . 7  |-  ( x 
C_  A  ->  (  _E  We  A  ->  _E  We  x ) )
3220, 31syl5com 28 . . . . . 6  |-  ( Ord 
A  ->  ( x  C_  A  ->  _E  We  x ) )
3330, 32syld 42 . . . . 5  |-  ( Ord 
A  ->  ( x  e.  A  ->  _E  We  x ) )
3433imp 419 . . . 4  |-  ( ( Ord  A  /\  x  e.  A )  ->  _E  We  x )
35 df-ord 4576 . . . 4  |-  ( Ord  x  <->  ( Tr  x  /\  _E  We  x ) )
3628, 34, 35sylanbrc 646 . . 3  |-  ( ( Ord  A  /\  x  e.  A )  ->  Ord  x )
374, 36vtoclg 3003 . 2  |-  ( B  e.  A  ->  (
( Ord  A  /\  B  e.  A )  ->  Ord  B ) )
3837anabsi7 793 1  |-  ( ( Ord  A  /\  B  e.  A )  ->  Ord  B )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 359    /\ w3a 936   A.wal 1549    = wceq 1652    e. wcel 1725    C_ wss 3312   Tr wtr 4294    _E cep 4484    We wwe 4532   Ord word 4572
This theorem is referenced by:  tron  4596  ordelon  4597  ordtr2  4617  ordtr3  4618  ordintdif  4622  ordsuc  4785  ordsucss  4789  ordsucelsuc  4793  ordsucuniel  4795  limsssuc  4821  smores  6605  smo11  6617  smoord  6618  smoword  6619  smogt  6620  smorndom  6621  rdglim2  6681  oesuclem  6760  ordtypelem3  7478  r1val1  7701  rankr1ag  7717  fin23lem24  8191  onsuct0  26139  dford3  27036  ordpss  27568
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1555  ax-5 1566  ax-17 1626  ax-9 1666  ax-8 1687  ax-14 1729  ax-6 1744  ax-7 1749  ax-11 1761  ax-12 1950  ax-ext 2416  ax-sep 4322  ax-nul 4330  ax-pr 4395
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3an 938  df-tru 1328  df-ex 1551  df-nf 1554  df-sb 1659  df-eu 2284  df-mo 2285  df-clab 2422  df-cleq 2428  df-clel 2431  df-nfc 2560  df-ne 2600  df-ral 2702  df-rex 2703  df-rab 2706  df-v 2950  df-dif 3315  df-un 3317  df-in 3319  df-ss 3326  df-nul 3621  df-if 3732  df-sn 3812  df-pr 3813  df-op 3815  df-uni 4008  df-br 4205  df-opab 4259  df-tr 4295  df-eprel 4486  df-po 4495  df-so 4496  df-fr 4533  df-we 4535  df-ord 4576
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