Theorem ordelord 2960

Description: An element of an ordinal class is ordinal. Proposition 7.6 of [TakeutiZaring] p. 36.

Assertion

Ref	Expression
ordelord	|- ((Ord A /\ B e. A) -> Ord B)

Proof of Theorem ordelord

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eleq1 1526	. . . . 5 |- (x = B -> (x e. A <-> B e. A))
2	1	anbi2d 614	. . . 4 |- (x = B -> ((Ord A /\ x e. A) <-> (Ord A /\ B e. A)))
3		ordeq 2945	. . . 4 |- (x = B -> (Ord x <-> Ord B))
4	2, 3	imbi12d 624	. . 3 |- (x = B -> (((Ord A /\ x e. A) -> Ord x) <-> ((Ord A /\ B e. A) -> Ord B)))
5		wetrep 2932	. . . . . . . . . . 11 |- ((E We A /\ (z e. A /\ y e. A /\ x e. A)) -> ((z e. y /\ y e. x) -> z e. x))
6		ordwe 2951	. . . . . . . . . . 11 |- (Ord A -> E We A)
7	5, 6	sylan 448	. . . . . . . . . 10 |- ((Ord A /\ (z e. A /\ y e. A /\ x e. A)) -> ((z e. y /\ y e. x) -> z e. x))
8		simpll 412	. . . . . . . . . 10 |- (((Ord A /\ x e. A) /\ (z e. y /\ y e. x)) -> Ord A)
9		ordtr 2952	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- (Ord A -> Tr A)
10		trel3 2678	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- (Tr A -> ((z e. y /\ y e. x /\ x e. A) -> z e. A))
11	9, 10	syl 10	. . . . . . . . . . . . . 14 |- (Ord A -> ((z e. y /\ y e. x /\ x e. A) -> z e. A))
12		3anrot 778	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ((x e. A /\ z e. y /\ y e. x) <-> (z e. y /\ y e. x /\ x e. A))
13		3anass 777	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ((x e. A /\ z e. y /\ y e. x) <-> (x e. A /\ (z e. y /\ y e. x)))
14	12, 13	bitr3 175	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ((z e. y /\ y e. x /\ x e. A) <-> (x e. A /\ (z e. y /\ y e. x)))
15	11, 14	syl5ibr 207	. . . . . . . . . . . . 13 |- (Ord A -> ((x e. A /\ (z e. y /\ y e. x)) -> z e. A))
16	15	exp3a 375	. . . . . . . . . . . 12 |- (Ord A -> (x e. A -> ((z e. y /\ y e. x) -> z e. A)))
17	16	imp31 362	. . . . . . . . . . 11 |- (((Ord A /\ x e. A) /\ (z e. y /\ y e. x)) -> z e. A)
18		trel 2677	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- (Tr A -> ((y e. x /\ x e. A) -> y e. A))
19	9, 18	syl 10	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- (Ord A -> ((y e. x /\ x e. A) -> y e. A))
20	19	exp3a 375	. . . . . . . . . . . . . 14 |- (Ord A -> (y e. x -> (x e. A -> y e. A)))
21	20	com23 32	. . . . . . . . . . . . 13 |- (Ord A -> (x e. A -> (y e. x -> y e. A)))
22	21	imp31 362	. . . . . . . . . . . 12 |- (((Ord A /\ x e. A) /\ y e. x) -> y e. A)
23	22	adantrl 394	. . . . . . . . . . 11 |- (((Ord A /\ x e. A) /\ (z e. y /\ y e. x)) -> y e. A)
24		simplr 413	. . . . . . . . . . 11 |- (((Ord A /\ x e. A) /\ (z e. y /\ y e. x)) -> x e. A)
25	17, 23, 24	3jca 817	. . . . . . . . . 10 |- (((Ord A /\ x e. A) /\ (z e. y /\ y e. x)) -> (z e. A /\ y e. A /\ x e. A))
26	7, 8, 25	sylanc 471	. . . . . . . . 9 |- (((Ord A /\ x e. A) /\ (z e. y /\ y e. x)) -> ((z e. y /\ y e. x) -> z e. x))
27	26	ex 373	. . . . . . . 8 |- ((Ord A /\ x e. A) -> ((z e. y /\ y e. x) -> ((z e. y /\ y e. x) -> z e. x)))
28	27	pm2.43d 65	. . . . . . 7 |- ((Ord A /\ x e. A) -> ((z e. y /\ y e. x) -> z e. x))
29	28	19.21aivv 1282	. . . . . 6 |- ((Ord A /\ x e. A) -> A.zA.y((z e. y /\ y e. x) -> z e. x))
30		dftr2 2672	. . . . . 6 |- (Tr x <-> A.zA.y((z e. y /\ y e. x) -> z e. x))
31	29, 30	sylibr 200	. . . . 5 |- ((Ord A /\ x e. A) -> Tr x)
32		trss 2679	. . . . . . . 8 |- (Tr A -> (x e. A -> x (_ A))
33	9, 32	syl 10	. . . . . . 7 |- (Ord A -> (x e. A -> x (_ A))
34		wess 2926	. . . . . . . 8 |- (x (_ A -> (E We A -> E We x))
35	34, 6	syl5com 52	. . . . . . 7 |- (Ord A -> (x (_ A -> E We x))
36	33, 35	syld 27	. . . . . 6 |- (Ord A -> (x e. A -> E We x))
37	36	imp 350	. . . . 5 |- ((Ord A /\ x e. A) -> E We x)
38	31, 37	jca 288	. . . 4 |- ((Ord A /\ x e. A) -> (Tr x /\ E We x))
39		df-ord 2941	. . . 4 |- (Ord x <-> (Tr x /\ E We x))
40	38, 39	sylibr 200	. . 3 |- ((Ord A /\ x e. A) -> Ord x)
41	4, 40	vtoclg 1838	. 2 |- (B e. A -> ((Ord A /\ B e. A) -> Ord B))
42	41	anabsi7 496	1 |- ((Ord A /\ B e. A) -> Ord B)

Syntax hints:   -> wi 3   /\ wa 223   /\ w3a 773  A.wal 951   = wceq 953   e. wcel 955   (_ wss 2037  Tr wtr 2670  Ecep 2819   We wwe 2906  Ord word 2937

This theorem is referenced by:  ordelon 2961  ordon 2977  ssorduni 2983  ordtr2 2992  ordsuc 3055  ordsucss 3059  ordsucelsuc 3063  ordunel 3074  limsssuc 3111  ordom 3131  rdglim2 3934

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 959  ax-gen 960  ax-8 961  ax-10 963  ax-11 964  ax-12 965  ax-13 966  ax-14 967  ax-17 968  ax-4 970  ax-5o 972  ax-6o 975  ax-9o 1119  ax-10o 1136  ax-16 1206  ax-11o 1213  ax-ext 1452  ax-sep 2693  ax-pow 2732  ax-pr 2769

This theorem depends on definitions:  df-bi 147  df-or 224  df-an 225  df-3an 775  df-ex 978  df-sb 1168  df-eu 1375  df-mo 1376  df-clab 1457  df-cleq 1462  df-clel 1465  df-ne 1579  df-ral 1641  df-rex 1642  df-v 1803  df-dif 2039  df-un 2040  df-in 2041  df-ss 2043  df-nul 2271  df-pw 2392  df-sn 2402  df-pr 2403  df-op 2406  df-uni 2494  df-br 2610  df-opab 2657  df-tr 2671  df-eprel 2821  df-po 2831  df-so 2841  df-fr 2907  df-we 2924  df-ord 2941

Copyright terms: Public domain