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Theorem ordelord 4414
Description: An element of an ordinal class is ordinal. Proposition 7.6 of [TakeutiZaring] p. 36. (Contributed by NM, 23-Apr-1994.)
Assertion
Ref Expression
ordelord  |-  ( ( Ord  A  /\  B  e.  A )  ->  Ord  B )
Dummy variables  x  y  z are mutually distinct and distinct from all other variables.

Proof of Theorem ordelord
StepHypRef Expression
1 eleq1 2345 . . . . 5  |-  ( x  =  B  ->  (
x  e.  A  <->  B  e.  A ) )
21anbi2d 686 . . . 4  |-  ( x  =  B  ->  (
( Ord  A  /\  x  e.  A )  <->  ( Ord  A  /\  B  e.  A ) ) )
3 ordeq 4399 . . . 4  |-  ( x  =  B  ->  ( Ord  x  <->  Ord  B ) )
42, 3imbi12d 313 . . 3  |-  ( x  =  B  ->  (
( ( Ord  A  /\  x  e.  A
)  ->  Ord  x )  <-> 
( ( Ord  A  /\  B  e.  A
)  ->  Ord  B ) ) )
5 simpll 732 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( Ord  A  /\  x  e.  A )  /\  ( z  e.  y  /\  y  e.  x
) )  ->  Ord  A )
6 3anrot 941 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( x  e.  A  /\  z  e.  y  /\  y  e.  x )  <->  ( z  e.  y  /\  y  e.  x  /\  x  e.  A )
)
7 3anass 940 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( x  e.  A  /\  z  e.  y  /\  y  e.  x )  <->  ( x  e.  A  /\  ( z  e.  y  /\  y  e.  x
) ) )
86, 7bitr3i 244 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( z  e.  y  /\  y  e.  x  /\  x  e.  A )  <->  ( x  e.  A  /\  ( z  e.  y  /\  y  e.  x
) ) )
9 ordtr 4406 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( Ord 
A  ->  Tr  A
)
10 trel3 4123 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( Tr  A  ->  ( (
z  e.  y  /\  y  e.  x  /\  x  e.  A )  ->  z  e.  A ) )
119, 10syl 17 . . . . . . . . . . 11  |-  ( Ord 
A  ->  ( (
z  e.  y  /\  y  e.  x  /\  x  e.  A )  ->  z  e.  A ) )
128, 11syl5bir 211 . . . . . . . . . 10  |-  ( Ord 
A  ->  ( (
x  e.  A  /\  ( z  e.  y  /\  y  e.  x
) )  ->  z  e.  A ) )
1312impl 605 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( Ord  A  /\  x  e.  A )  /\  ( z  e.  y  /\  y  e.  x
) )  ->  z  e.  A )
14 trel 4122 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( Tr  A  ->  ( (
y  e.  x  /\  x  e.  A )  ->  y  e.  A ) )
159, 14syl 17 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( Ord 
A  ->  ( (
y  e.  x  /\  x  e.  A )  ->  y  e.  A ) )
1615exp3acom23 1364 . . . . . . . . . . 11  |-  ( Ord 
A  ->  ( x  e.  A  ->  ( y  e.  x  ->  y  e.  A ) ) )
1716imp31 423 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( Ord  A  /\  x  e.  A )  /\  y  e.  x
)  ->  y  e.  A )
1817adantrl 698 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( Ord  A  /\  x  e.  A )  /\  ( z  e.  y  /\  y  e.  x
) )  ->  y  e.  A )
19 simplr 733 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( Ord  A  /\  x  e.  A )  /\  ( z  e.  y  /\  y  e.  x
) )  ->  x  e.  A )
20 ordwe 4405 . . . . . . . . . 10  |-  ( Ord 
A  ->  _E  We  A )
21 wetrep 4386 . . . . . . . . . 10  |-  ( (  _E  We  A  /\  ( z  e.  A  /\  y  e.  A  /\  x  e.  A
) )  ->  (
( z  e.  y  /\  y  e.  x
)  ->  z  e.  x ) )
2220, 21sylan 459 . . . . . . . . 9  |-  ( ( Ord  A  /\  (
z  e.  A  /\  y  e.  A  /\  x  e.  A )
)  ->  ( (
z  e.  y  /\  y  e.  x )  ->  z  e.  x ) )
235, 13, 18, 19, 22syl13anc 1186 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( Ord  A  /\  x  e.  A )  /\  ( z  e.  y  /\  y  e.  x
) )  ->  (
( z  e.  y  /\  y  e.  x
)  ->  z  e.  x ) )
2423ex 425 . . . . . . 7  |-  ( ( Ord  A  /\  x  e.  A )  ->  (
( z  e.  y  /\  y  e.  x
)  ->  ( (
z  e.  y  /\  y  e.  x )  ->  z  e.  x ) ) )
2524pm2.43d 46 . . . . . 6  |-  ( ( Ord  A  /\  x  e.  A )  ->  (
( z  e.  y  /\  y  e.  x
)  ->  z  e.  x ) )
2625alrimivv 1619 . . . . 5  |-  ( ( Ord  A  /\  x  e.  A )  ->  A. z A. y ( ( z  e.  y  /\  y  e.  x )  ->  z  e.  x ) )
27 dftr2 4117 . . . . 5  |-  ( Tr  x  <->  A. z A. y
( ( z  e.  y  /\  y  e.  x )  ->  z  e.  x ) )
2826, 27sylibr 205 . . . 4  |-  ( ( Ord  A  /\  x  e.  A )  ->  Tr  x )
29 trss 4124 . . . . . . 7  |-  ( Tr  A  ->  ( x  e.  A  ->  x  C_  A ) )
309, 29syl 17 . . . . . 6  |-  ( Ord 
A  ->  ( x  e.  A  ->  x  C_  A ) )
31 wess 4380 . . . . . . 7  |-  ( x 
C_  A  ->  (  _E  We  A  ->  _E  We  x ) )
3220, 31syl5com 28 . . . . . 6  |-  ( Ord 
A  ->  ( x  C_  A  ->  _E  We  x ) )
3330, 32syld 42 . . . . 5  |-  ( Ord 
A  ->  ( x  e.  A  ->  _E  We  x ) )
3433imp 420 . . . 4  |-  ( ( Ord  A  /\  x  e.  A )  ->  _E  We  x )
35 df-ord 4395 . . . 4  |-  ( Ord  x  <->  ( Tr  x  /\  _E  We  x ) )
3628, 34, 35sylanbrc 647 . . 3  |-  ( ( Ord  A  /\  x  e.  A )  ->  Ord  x )
374, 36vtoclg 2845 . 2  |-  ( B  e.  A  ->  (
( Ord  A  /\  B  e.  A )  ->  Ord  B ) )
3837anabsi7 794 1  |-  ( ( Ord  A  /\  B  e.  A )  ->  Ord  B )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 6    /\ wa 360    /\ w3a 936   A.wal 1528    = wceq 1624    e. wcel 1685    C_ wss 3154   Tr wtr 4115    _E cep 4303    We wwe 4351   Ord word 4391
This theorem is referenced by:  tron  4415  ordelon  4416  ordtr2  4436  ordtr3  4437  ordintdif  4441  ordsuc  4605  ordsucss  4609  ordsucelsuc  4613  ordsucuniel  4615  limsssuc  4641  smores  6365  smo11  6377  smoord  6378  smoword  6379  smogt  6380  smorndom  6381  rdglim2  6441  oesuclem  6520  ordtypelem3  7231  r1val1  7454  rankr1ag  7470  fin23lem24  7944  onsuct0  24288  dford3  26521  ordpss  27054
This theorem was proved from axioms:  ax-1 7  ax-2 8  ax-3 9  ax-mp 10  ax-gen 1534  ax-5 1545  ax-17 1604  ax-9 1637  ax-8 1645  ax-14 1689  ax-6 1704  ax-7 1709  ax-11 1716  ax-12 1868  ax-ext 2266  ax-sep 4143  ax-nul 4151  ax-pr 4214
This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3an 938  df-tru 1312  df-ex 1530  df-nf 1533  df-sb 1632  df-eu 2149  df-mo 2150  df-clab 2272  df-cleq 2278  df-clel 2281  df-nfc 2410  df-ne 2450  df-ral 2550  df-rex 2551  df-rab 2554  df-v 2792  df-dif 3157  df-un 3159  df-in 3161  df-ss 3168  df-nul 3458  df-if 3568  df-sn 3648  df-pr 3649  df-op 3651  df-uni 3830  df-br 4026  df-opab 4080  df-tr 4116  df-eprel 4305  df-po 4314  df-so 4315  df-fr 4352  df-we 4354  df-ord 4395
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