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Theorem ordelord 4414
Description: An element of an ordinal class is ordinal. Proposition 7.6 of [TakeutiZaring] p. 36. (Contributed by NM, 23-Apr-1994.)
Assertion
Ref Expression
ordelord  |-  ( ( Ord  A  /\  B  e.  A )  ->  Ord  B )

Proof of Theorem ordelord
Dummy variables  x  y  z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eleq1 2343 . . . . 5  |-  ( x  =  B  ->  (
x  e.  A  <->  B  e.  A ) )
21anbi2d 684 . . . 4  |-  ( x  =  B  ->  (
( Ord  A  /\  x  e.  A )  <->  ( Ord  A  /\  B  e.  A ) ) )
3 ordeq 4399 . . . 4  |-  ( x  =  B  ->  ( Ord  x  <->  Ord  B ) )
42, 3imbi12d 311 . . 3  |-  ( x  =  B  ->  (
( ( Ord  A  /\  x  e.  A
)  ->  Ord  x )  <-> 
( ( Ord  A  /\  B  e.  A
)  ->  Ord  B ) ) )
5 simpll 730 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( Ord  A  /\  x  e.  A )  /\  ( z  e.  y  /\  y  e.  x
) )  ->  Ord  A )
6 3anrot 939 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( x  e.  A  /\  z  e.  y  /\  y  e.  x )  <->  ( z  e.  y  /\  y  e.  x  /\  x  e.  A )
)
7 3anass 938 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( x  e.  A  /\  z  e.  y  /\  y  e.  x )  <->  ( x  e.  A  /\  ( z  e.  y  /\  y  e.  x
) ) )
86, 7bitr3i 242 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( z  e.  y  /\  y  e.  x  /\  x  e.  A )  <->  ( x  e.  A  /\  ( z  e.  y  /\  y  e.  x
) ) )
9 ordtr 4406 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( Ord 
A  ->  Tr  A
)
10 trel3 4121 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( Tr  A  ->  ( (
z  e.  y  /\  y  e.  x  /\  x  e.  A )  ->  z  e.  A ) )
119, 10syl 15 . . . . . . . . . . 11  |-  ( Ord 
A  ->  ( (
z  e.  y  /\  y  e.  x  /\  x  e.  A )  ->  z  e.  A ) )
128, 11syl5bir 209 . . . . . . . . . 10  |-  ( Ord 
A  ->  ( (
x  e.  A  /\  ( z  e.  y  /\  y  e.  x
) )  ->  z  e.  A ) )
1312impl 603 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( Ord  A  /\  x  e.  A )  /\  ( z  e.  y  /\  y  e.  x
) )  ->  z  e.  A )
14 trel 4120 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( Tr  A  ->  ( (
y  e.  x  /\  x  e.  A )  ->  y  e.  A ) )
159, 14syl 15 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( Ord 
A  ->  ( (
y  e.  x  /\  x  e.  A )  ->  y  e.  A ) )
1615exp3acom23 1362 . . . . . . . . . . 11  |-  ( Ord 
A  ->  ( x  e.  A  ->  ( y  e.  x  ->  y  e.  A ) ) )
1716imp31 421 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( Ord  A  /\  x  e.  A )  /\  y  e.  x
)  ->  y  e.  A )
1817adantrl 696 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( Ord  A  /\  x  e.  A )  /\  ( z  e.  y  /\  y  e.  x
) )  ->  y  e.  A )
19 simplr 731 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( Ord  A  /\  x  e.  A )  /\  ( z  e.  y  /\  y  e.  x
) )  ->  x  e.  A )
20 ordwe 4405 . . . . . . . . . 10  |-  ( Ord 
A  ->  _E  We  A )
21 wetrep 4386 . . . . . . . . . 10  |-  ( (  _E  We  A  /\  ( z  e.  A  /\  y  e.  A  /\  x  e.  A
) )  ->  (
( z  e.  y  /\  y  e.  x
)  ->  z  e.  x ) )
2220, 21sylan 457 . . . . . . . . 9  |-  ( ( Ord  A  /\  (
z  e.  A  /\  y  e.  A  /\  x  e.  A )
)  ->  ( (
z  e.  y  /\  y  e.  x )  ->  z  e.  x ) )
235, 13, 18, 19, 22syl13anc 1184 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( Ord  A  /\  x  e.  A )  /\  ( z  e.  y  /\  y  e.  x
) )  ->  (
( z  e.  y  /\  y  e.  x
)  ->  z  e.  x ) )
2423ex 423 . . . . . . 7  |-  ( ( Ord  A  /\  x  e.  A )  ->  (
( z  e.  y  /\  y  e.  x
)  ->  ( (
z  e.  y  /\  y  e.  x )  ->  z  e.  x ) ) )
2524pm2.43d 44 . . . . . 6  |-  ( ( Ord  A  /\  x  e.  A )  ->  (
( z  e.  y  /\  y  e.  x
)  ->  z  e.  x ) )
2625alrimivv 1618 . . . . 5  |-  ( ( Ord  A  /\  x  e.  A )  ->  A. z A. y ( ( z  e.  y  /\  y  e.  x )  ->  z  e.  x ) )
27 dftr2 4115 . . . . 5  |-  ( Tr  x  <->  A. z A. y
( ( z  e.  y  /\  y  e.  x )  ->  z  e.  x ) )
2826, 27sylibr 203 . . . 4  |-  ( ( Ord  A  /\  x  e.  A )  ->  Tr  x )
29 trss 4122 . . . . . . 7  |-  ( Tr  A  ->  ( x  e.  A  ->  x  C_  A ) )
309, 29syl 15 . . . . . 6  |-  ( Ord 
A  ->  ( x  e.  A  ->  x  C_  A ) )
31 wess 4380 . . . . . . 7  |-  ( x 
C_  A  ->  (  _E  We  A  ->  _E  We  x ) )
3220, 31syl5com 26 . . . . . 6  |-  ( Ord 
A  ->  ( x  C_  A  ->  _E  We  x ) )
3330, 32syld 40 . . . . 5  |-  ( Ord 
A  ->  ( x  e.  A  ->  _E  We  x ) )
3433imp 418 . . . 4  |-  ( ( Ord  A  /\  x  e.  A )  ->  _E  We  x )
35 df-ord 4395 . . . 4  |-  ( Ord  x  <->  ( Tr  x  /\  _E  We  x ) )
3628, 34, 35sylanbrc 645 . . 3  |-  ( ( Ord  A  /\  x  e.  A )  ->  Ord  x )
374, 36vtoclg 2843 . 2  |-  ( B  e.  A  ->  (
( Ord  A  /\  B  e.  A )  ->  Ord  B ) )
3837anabsi7 792 1  |-  ( ( Ord  A  /\  B  e.  A )  ->  Ord  B )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 358    /\ w3a 934   A.wal 1527    = wceq 1623    e. wcel 1684    C_ wss 3152   Tr wtr 4113    _E cep 4303    We wwe 4351   Ord word 4391
This theorem is referenced by:  tron  4415  ordelon  4416  ordtr2  4436  ordtr3  4437  ordintdif  4441  ordsuc  4605  ordsucss  4609  ordsucelsuc  4613  ordsucuniel  4615  limsssuc  4641  smores  6369  smo11  6381  smoord  6382  smoword  6383  smogt  6384  smorndom  6385  rdglim2  6445  oesuclem  6524  ordtypelem3  7235  r1val1  7458  rankr1ag  7474  fin23lem24  7948  onsuct0  24880  dford3  27121  ordpss  27654
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1533  ax-5 1544  ax-17 1603  ax-9 1635  ax-8 1643  ax-14 1688  ax-6 1703  ax-7 1708  ax-11 1715  ax-12 1866  ax-ext 2264  ax-sep 4141  ax-nul 4149  ax-pr 4214
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1529  df-nf 1532  df-sb 1630  df-eu 2147  df-mo 2148  df-clab 2270  df-cleq 2276  df-clel 2279  df-nfc 2408  df-ne 2448  df-ral 2548  df-rex 2549  df-rab 2552  df-v 2790  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-nul 3456  df-if 3566  df-sn 3646  df-pr 3647  df-op 3649  df-uni 3828  df-br 4024  df-opab 4078  df-tr 4114  df-eprel 4305  df-po 4314  df-so 4315  df-fr 4352  df-we 4354  df-ord 4395
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