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Theorem ordelordALTVD 28320
Description: An element of an ordinal class is ordinal. Proposition 7.6 of [TakeutiZaring] p. 36. This is an alternate proof of ordelord 4544 using the Axiom of Regularity indirectly through dford2 7508. dford2 is a weaker definition of ordinal number. Given the Axiom of Regularity, it need not be assumed that  _E  Fr  A because this is inferred by the Axiom of Regularity. The following User's Proof is a Virtual Deduction proof completed automatically by the tools program completeusersproof.cmd, which invokes Mel O'Cat's mmj2 and Norm Megill's Metamath Proof Assistant. ordelordALT 27965 is ordelordALTVD 28320 without virtual deductions and was automatically derived from ordelordALTVD 28320 using the tools program translate..without..overwriting.cmd and Metamath's minimize command.
1::  |-  (. ( Ord  A  /\  B  e.  A )  ->.  ( Ord  A  /\  B  e.  A ) ).
2:1:  |-  (. ( Ord  A  /\  B  e.  A )  ->.  Ord  A ).
3:1:  |-  (. ( Ord  A  /\  B  e.  A )  ->.  B  e.  A ).
4:2:  |-  (. ( Ord  A  /\  B  e.  A )  ->.  Tr  A ).
5:2:  |-  (. ( Ord  A  /\  B  e.  A )  ->.  A. x  e.  A  A. y  e.  A ( x  e.  y  \/  x  =  y  \/  y  e.  x ) ).
6:4,3:  |-  (. ( Ord  A  /\  B  e.  A )  ->.  B  C_  A ).
7:6,6,5:  |-  (. ( Ord  A  /\  B  e.  A )  ->.  A. x  e.  B  A. y  e.  B ( x  e.  y  \/  x  =  y  \/  y  e.  x ) ).
8::  |-  ( ( x  e.  y  \/  x  =  y  \/  y  e.  x )  <->  ( x  e.  y  \/  y  e.  x  \/  x  =  y ) )
9:8:  |-  A. y ( ( x  e.  y  \/  x  =  y  \/  y  e.  x )  <->  ( x  e.  y  \/  y  e.  x  \/  x  =  y ) )
10:9:  |-  A. y  e.  A ( ( x  e.  y  \/  x  =  y  \/  y  e.  x )  <->  ( x  e.  y  \/  y  e.  x  \/  x  =  y ) )
11:10:  |-  ( A. y  e.  A ( x  e.  y  \/  x  =  y  \/  y  e.  x )  <->  A. y  e.  A ( x  e.  y  \/  y  e.  x  \/  x  =  y ) )
12:11:  |-  A. x ( A. y  e.  A ( x  e.  y  \/  x  =  y  \/  y  e.  x )  <->  A. y  e.  A ( x  e.  y  \/  y  e.  x  \/  x  =  y ) )
13:12:  |-  A. x  e.  A ( A. y  e.  A ( x  e.  y  \/  x  =  y  \/  y  e.  x )  <->  A. y  e.  A ( x  e.  y  \/  y  e.  x  \/  x  =  y ) )
14:13:  |-  ( A. x  e.  A A. y  e.  A ( x  e.  y  \/  x  =  y  \/  y  e.  x )  <->  A. x  e.  A A. y  e.  A ( x  e.  y  \/  y  e.  x  \/  x  =  y ) )
15:14,5:  |-  (. ( Ord  A  /\  B  e.  A )  ->.  A. x  e.  A  A. y  e.  A ( x  e.  y  \/  y  e.  x  \/  x  =  y ) ).
16:4,15,3:  |-  (. ( Ord  A  /\  B  e.  A )  ->.  Tr  B ).
17:16,7:  |-  (. ( Ord  A  /\  B  e.  A )  ->.  Ord  B ).
qed:17:  |-  ( ( Ord  A  /\  B  e.  A )  ->  Ord  B )
(Contributed by Alan Sare, 12-Feb-2012.) (Proof modification is discouraged.) (New usage is discouraged.)
Assertion
Ref Expression
ordelordALTVD  |-  ( ( Ord  A  /\  B  e.  A )  ->  Ord  B )

Proof of Theorem ordelordALTVD
Dummy variables  x  y are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 idn1 28006 . . . . . 6  |-  (. ( Ord  A  /\  B  e.  A )  ->.  ( Ord  A  /\  B  e.  A
) ).
2 simpl 444 . . . . . 6  |-  ( ( Ord  A  /\  B  e.  A )  ->  Ord  A )
31, 2e1_ 28069 . . . . 5  |-  (. ( Ord  A  /\  B  e.  A )  ->.  Ord  A ).
4 ordtr 4536 . . . . 5  |-  ( Ord 
A  ->  Tr  A
)
53, 4e1_ 28069 . . . 4  |-  (. ( Ord  A  /\  B  e.  A )  ->.  Tr  A ).
6 dford2 7508 . . . . . . 7  |-  ( Ord 
A  <->  ( Tr  A  /\  A. x  e.  A  A. y  e.  A  ( x  e.  y  \/  x  =  y  \/  y  e.  x
) ) )
76simprbi 451 . . . . . 6  |-  ( Ord 
A  ->  A. x  e.  A  A. y  e.  A  ( x  e.  y  \/  x  =  y  \/  y  e.  x ) )
83, 7e1_ 28069 . . . . 5  |-  (. ( Ord  A  /\  B  e.  A )  ->.  A. x  e.  A  A. y  e.  A  ( x  e.  y  \/  x  =  y  \/  y  e.  x ) ).
9 3orcomb 946 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( x  e.  y  \/  x  =  y  \/  y  e.  x )  <-> 
( x  e.  y  \/  y  e.  x  \/  x  =  y
) )
109ax-gen 1552 . . . . . . . . . 10  |-  A. y
( ( x  e.  y  \/  x  =  y  \/  y  e.  x )  <->  ( x  e.  y  \/  y  e.  x  \/  x  =  y ) )
11 alral 2707 . . . . . . . . . 10  |-  ( A. y ( ( x  e.  y  \/  x  =  y  \/  y  e.  x )  <->  ( x  e.  y  \/  y  e.  x  \/  x  =  y ) )  ->  A. y  e.  A  ( ( x  e.  y  \/  x  =  y  \/  y  e.  x )  <->  ( x  e.  y  \/  y  e.  x  \/  x  =  y ) ) )
1210, 11e0_ 28225 . . . . . . . . 9  |-  A. y  e.  A  ( (
x  e.  y  \/  x  =  y  \/  y  e.  x )  <-> 
( x  e.  y  \/  y  e.  x  \/  x  =  y
) )
13 ralbi 2785 . . . . . . . . 9  |-  ( A. y  e.  A  (
( x  e.  y  \/  x  =  y  \/  y  e.  x
)  <->  ( x  e.  y  \/  y  e.  x  \/  x  =  y ) )  -> 
( A. y  e.  A  ( x  e.  y  \/  x  =  y  \/  y  e.  x )  <->  A. y  e.  A  ( x  e.  y  \/  y  e.  x  \/  x  =  y ) ) )
1412, 13e0_ 28225 . . . . . . . 8  |-  ( A. y  e.  A  (
x  e.  y  \/  x  =  y  \/  y  e.  x )  <->  A. y  e.  A  ( x  e.  y  \/  y  e.  x  \/  x  =  y
) )
1514ax-gen 1552 . . . . . . 7  |-  A. x
( A. y  e.  A  ( x  e.  y  \/  x  =  y  \/  y  e.  x )  <->  A. y  e.  A  ( x  e.  y  \/  y  e.  x  \/  x  =  y ) )
16 alral 2707 . . . . . . 7  |-  ( A. x ( A. y  e.  A  ( x  e.  y  \/  x  =  y  \/  y  e.  x )  <->  A. y  e.  A  ( x  e.  y  \/  y  e.  x  \/  x  =  y ) )  ->  A. x  e.  A  ( A. y  e.  A  ( x  e.  y  \/  x  =  y  \/  y  e.  x
)  <->  A. y  e.  A  ( x  e.  y  \/  y  e.  x  \/  x  =  y
) ) )
1715, 16e0_ 28225 . . . . . 6  |-  A. x  e.  A  ( A. y  e.  A  (
x  e.  y  \/  x  =  y  \/  y  e.  x )  <->  A. y  e.  A  ( x  e.  y  \/  y  e.  x  \/  x  =  y
) )
18 ralbi 2785 . . . . . 6  |-  ( A. x  e.  A  ( A. y  e.  A  ( x  e.  y  \/  x  =  y  \/  y  e.  x
)  <->  A. y  e.  A  ( x  e.  y  \/  y  e.  x  \/  x  =  y
) )  ->  ( A. x  e.  A  A. y  e.  A  ( x  e.  y  \/  x  =  y  \/  y  e.  x
)  <->  A. x  e.  A  A. y  e.  A  ( x  e.  y  \/  y  e.  x  \/  x  =  y
) ) )
1917, 18e0_ 28225 . . . . 5  |-  ( A. x  e.  A  A. y  e.  A  (
x  e.  y  \/  x  =  y  \/  y  e.  x )  <->  A. x  e.  A  A. y  e.  A  ( x  e.  y  \/  y  e.  x  \/  x  =  y
) )
208, 19e1bi 28071 . . . 4  |-  (. ( Ord  A  /\  B  e.  A )  ->.  A. x  e.  A  A. y  e.  A  ( x  e.  y  \/  y  e.  x  \/  x  =  y ) ).
21 simpr 448 . . . . 5  |-  ( ( Ord  A  /\  B  e.  A )  ->  B  e.  A )
221, 21e1_ 28069 . . . 4  |-  (. ( Ord  A  /\  B  e.  A )  ->.  B  e.  A ).
23 tratrb 27963 . . . . 5  |-  ( ( Tr  A  /\  A. x  e.  A  A. y  e.  A  (
x  e.  y  \/  y  e.  x  \/  x  =  y )  /\  B  e.  A
)  ->  Tr  B
)
24233exp 1152 . . . 4  |-  ( Tr  A  ->  ( A. x  e.  A  A. y  e.  A  (
x  e.  y  \/  y  e.  x  \/  x  =  y )  ->  ( B  e.  A  ->  Tr  B
) ) )
255, 20, 22, 24e111 28116 . . 3  |-  (. ( Ord  A  /\  B  e.  A )  ->.  Tr  B ).
26 trss 4252 . . . . 5  |-  ( Tr  A  ->  ( B  e.  A  ->  B  C_  A ) )
275, 22, 26e11 28130 . . . 4  |-  (. ( Ord  A  /\  B  e.  A )  ->.  B  C_  A ).
28 ssralv2 27958 . . . . 5  |-  ( ( B  C_  A  /\  B  C_  A )  -> 
( A. x  e.  A  A. y  e.  A  ( x  e.  y  \/  x  =  y  \/  y  e.  x )  ->  A. x  e.  B  A. y  e.  B  ( x  e.  y  \/  x  =  y  \/  y  e.  x ) ) )
2928ex 424 . . . 4  |-  ( B 
C_  A  ->  ( B  C_  A  ->  ( A. x  e.  A  A. y  e.  A  ( x  e.  y  \/  x  =  y  \/  y  e.  x
)  ->  A. x  e.  B  A. y  e.  B  ( x  e.  y  \/  x  =  y  \/  y  e.  x ) ) ) )
3027, 27, 8, 29e111 28116 . . 3  |-  (. ( Ord  A  /\  B  e.  A )  ->.  A. x  e.  B  A. y  e.  B  ( x  e.  y  \/  x  =  y  \/  y  e.  x ) ).
31 dford2 7508 . . . 4  |-  ( Ord 
B  <->  ( Tr  B  /\  A. x  e.  B  A. y  e.  B  ( x  e.  y  \/  x  =  y  \/  y  e.  x
) ) )
3231simplbi2 609 . . 3  |-  ( Tr  B  ->  ( A. x  e.  B  A. y  e.  B  (
x  e.  y  \/  x  =  y  \/  y  e.  x )  ->  Ord  B )
)
3325, 30, 32e11 28130 . 2  |-  (. ( Ord  A  /\  B  e.  A )  ->.  Ord  B ).
3433in1 28003 1  |-  ( ( Ord  A  /\  B  e.  A )  ->  Ord  B )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 177    /\ wa 359    \/ w3o 935   A.wal 1546    = wceq 1649    e. wcel 1717   A.wral 2649    C_ wss 3263   Tr wtr 4243   Ord word 4521
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1661  ax-8 1682  ax-13 1719  ax-14 1721  ax-6 1736  ax-7 1741  ax-11 1753  ax-12 1939  ax-ext 2368  ax-sep 4271  ax-nul 4279  ax-pr 4344  ax-un 4641  ax-reg 7493
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2242  df-mo 2243  df-clab 2374  df-cleq 2380  df-clel 2383  df-nfc 2512  df-ne 2552  df-ral 2654  df-rex 2655  df-rab 2658  df-v 2901  df-sbc 3105  df-dif 3266  df-un 3268  df-in 3270  df-ss 3277  df-nul 3572  df-if 3683  df-sn 3763  df-pr 3764  df-tp 3765  df-op 3766  df-uni 3958  df-br 4154  df-opab 4208  df-tr 4244  df-eprel 4435  df-po 4444  df-so 4445  df-fr 4482  df-we 4484  df-ord 4525  df-vd1 28002
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