MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ordirr Unicode version

Theorem ordirr 4303
Description: Epsilon irreflexivity of ordinals: no ordinal class is a member of itself. Theorem 2.2(i) of [BellMachover] p. 469, generalized to classes. We prove this without invoking the Axiom of Regularity. (Contributed by NM, 2-Jan-1994.)
Assertion
Ref Expression
ordirr  |-  ( Ord 
A  ->  -.  A  e.  A )

Proof of Theorem ordirr
StepHypRef Expression
1 ordfr 4300 . 2  |-  ( Ord 
A  ->  _E  Fr  A )
2 efrirr 4267 . 2  |-  (  _E  Fr  A  ->  -.  A  e.  A )
31, 2syl 17 1  |-  ( Ord 
A  ->  -.  A  e.  A )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 5    -> wi 6    e. wcel 1621    _E cep 4196    Fr wfr 4242   Ord word 4284
This theorem is referenced by:  nordeq  4304  ordn2lp  4305  ordtri3or  4317  ordtri1  4318  ordtri3  4321  orddisj  4323  ordunidif  4333  ordnbtwn  4376  onirri  4390  onssneli  4393  onprc  4467  nlimsucg  4524  nnlim  4560  limom  4562  smo11  6267  smoord  6268  tfrlem13  6292  omopth2  6468  limensuci  6922  infensuc  6924  ordtypelem9  7125  cantnfp1lem3  7266  cantnfp1  7267  oemapvali  7270  wfelirr  7381  tskwe  7467  dif1card  7522  pm110.643ALT  7688  pwsdompw  7714  cflim2  7773  fin23lem24  7832  fin23lem26  7835  axdc3lem4  7963  ttukeylem7  8026  canthp1lem2  8155  inar1  8277  gruina  8320  grur1  8322  addnidpi  8405  fzennn  10908  hashp1i  11246  soseq  23422  hfninf  23990
This theorem was proved from axioms:  ax-1 7  ax-2 8  ax-3 9  ax-mp 10  ax-5 1533  ax-6 1534  ax-7 1535  ax-gen 1536  ax-8 1623  ax-11 1624  ax-14 1626  ax-17 1628  ax-12o 1664  ax-10 1678  ax-9 1684  ax-4 1692  ax-16 1926  ax-ext 2234  ax-sep 4038  ax-nul 4046  ax-pr 4108
This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3an 941  df-tru 1315  df-ex 1538  df-nf 1540  df-sb 1883  df-eu 2118  df-mo 2119  df-clab 2240  df-cleq 2246  df-clel 2249  df-nfc 2374  df-ne 2414  df-ral 2513  df-rex 2514  df-rab 2516  df-v 2729  df-sbc 2922  df-dif 3081  df-un 3083  df-in 3085  df-ss 3089  df-nul 3363  df-if 3471  df-sn 3550  df-pr 3551  df-op 3553  df-br 3921  df-opab 3975  df-eprel 4198  df-fr 4245  df-we 4247  df-ord 4288
  Copyright terms: Public domain W3C validator