MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ordirr Unicode version

Theorem ordirr 4382
Description: Epsilon irreflexivity of ordinals: no ordinal class is a member of itself. Theorem 2.2(i) of [BellMachover] p. 469, generalized to classes. We prove this without invoking the Axiom of Regularity. (Contributed by NM, 2-Jan-1994.)
Assertion
Ref Expression
ordirr  |-  ( Ord 
A  ->  -.  A  e.  A )

Proof of Theorem ordirr
StepHypRef Expression
1 ordfr 4379 . 2  |-  ( Ord 
A  ->  _E  Fr  A )
2 efrirr 4346 . 2  |-  (  _E  Fr  A  ->  -.  A  e.  A )
31, 2syl 17 1  |-  ( Ord 
A  ->  -.  A  e.  A )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 5    -> wi 6    e. wcel 1621    _E cep 4275    Fr wfr 4321   Ord word 4363
This theorem is referenced by:  nordeq  4383  ordn2lp  4384  ordtri3or  4396  ordtri1  4397  ordtri3  4400  orddisj  4402  ordunidif  4412  ordnbtwn  4455  onirri  4471  onssneli  4474  onprc  4548  nlimsucg  4605  nnlim  4641  limom  4643  smo11  6349  smoord  6350  tfrlem13  6374  omopth2  6550  limensuci  7005  infensuc  7007  ordtypelem9  7209  cantnfp1lem3  7350  cantnfp1  7351  oemapvali  7354  wfelirr  7465  tskwe  7551  dif1card  7606  pm110.643ALT  7772  pwsdompw  7798  cflim2  7857  fin23lem24  7916  fin23lem26  7919  axdc3lem4  8047  ttukeylem7  8110  canthp1lem2  8243  inar1  8365  gruina  8408  grur1  8410  addnidpi  8493  fzennn  10997  hashp1i  11335  soseq  23624  hfninf  24192
This theorem was proved from axioms:  ax-1 7  ax-2 8  ax-3 9  ax-mp 10  ax-5 1533  ax-6 1534  ax-7 1535  ax-gen 1536  ax-8 1623  ax-11 1624  ax-14 1626  ax-17 1628  ax-12o 1664  ax-10 1678  ax-9 1684  ax-4 1692  ax-16 1927  ax-ext 2239  ax-sep 4115  ax-nul 4123  ax-pr 4186
This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3an 941  df-tru 1315  df-ex 1538  df-nf 1540  df-sb 1884  df-eu 2122  df-mo 2123  df-clab 2245  df-cleq 2251  df-clel 2254  df-nfc 2383  df-ne 2423  df-ral 2523  df-rex 2524  df-rab 2527  df-v 2765  df-sbc 2967  df-dif 3130  df-un 3132  df-in 3134  df-ss 3141  df-nul 3431  df-if 3540  df-sn 3620  df-pr 3621  df-op 3623  df-br 3998  df-opab 4052  df-eprel 4277  df-fr 4324  df-we 4326  df-ord 4367
  Copyright terms: Public domain W3C validator