MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ordirr Unicode version

Theorem ordirr 4347
Description: Epsilon irreflexivity of ordinals: no ordinal class is a member of itself. Theorem 2.2(i) of [BellMachover] p. 469, generalized to classes. We prove this without invoking the Axiom of Regularity. (Contributed by NM, 2-Jan-1994.)
Assertion
Ref Expression
ordirr  |-  ( Ord 
A  ->  -.  A  e.  A )

Proof of Theorem ordirr
StepHypRef Expression
1 ordfr 4344 . 2  |-  ( Ord 
A  ->  _E  Fr  A )
2 efrirr 4311 . 2  |-  (  _E  Fr  A  ->  -.  A  e.  A )
31, 2syl 17 1  |-  ( Ord 
A  ->  -.  A  e.  A )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 5    -> wi 6    e. wcel 1621    _E cep 4240    Fr wfr 4286   Ord word 4328
This theorem is referenced by:  nordeq  4348  ordn2lp  4349  ordtri3or  4361  ordtri1  4362  ordtri3  4365  orddisj  4367  ordunidif  4377  ordnbtwn  4420  onirri  4436  onssneli  4439  onprc  4513  nlimsucg  4570  nnlim  4606  limom  4608  smo11  6314  smoord  6315  tfrlem13  6339  omopth2  6515  limensuci  6970  infensuc  6972  ordtypelem9  7174  cantnfp1lem3  7315  cantnfp1  7316  oemapvali  7319  wfelirr  7430  tskwe  7516  dif1card  7571  pm110.643ALT  7737  pwsdompw  7763  cflim2  7822  fin23lem24  7881  fin23lem26  7884  axdc3lem4  8012  ttukeylem7  8075  canthp1lem2  8208  inar1  8330  gruina  8373  grur1  8375  addnidpi  8458  fzennn  10961  hashp1i  11299  soseq  23588  hfninf  24156
This theorem was proved from axioms:  ax-1 7  ax-2 8  ax-3 9  ax-mp 10  ax-5 1533  ax-6 1534  ax-7 1535  ax-gen 1536  ax-8 1623  ax-11 1624  ax-14 1626  ax-17 1628  ax-12o 1664  ax-10 1678  ax-9 1684  ax-4 1692  ax-16 1927  ax-ext 2237  ax-sep 4081  ax-nul 4089  ax-pr 4152
This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3an 941  df-tru 1315  df-ex 1538  df-nf 1540  df-sb 1884  df-eu 2121  df-mo 2122  df-clab 2243  df-cleq 2249  df-clel 2252  df-nfc 2381  df-ne 2421  df-ral 2520  df-rex 2521  df-rab 2523  df-v 2742  df-sbc 2936  df-dif 3097  df-un 3099  df-in 3101  df-ss 3108  df-nul 3398  df-if 3507  df-sn 3587  df-pr 3588  df-op 3590  df-br 3964  df-opab 4018  df-eprel 4242  df-fr 4289  df-we 4291  df-ord 4332
  Copyright terms: Public domain W3C validator