Theorem ordom 3228

Description: Omega is ordinal. Theorem 7.32 of [TakeutiZaring] p. 43.

Assertion

Ref	Expression
ordom	|- Ord om

Proof of Theorem ordom

Step	Hyp	Ref	Expression
1		dftr2 2756	. . 3 |- (Tr om <-> A.yA.x((y e. x /\ x e. om) -> y e. om))
2		ordelord 2997	. . . . . . . 8 |- ((Ord x /\ y e. x) -> Ord y)
3		nnord 3227	. . . . . . . 8 |- (x e. om -> Ord x)
4	2, 3	sylan 450	. . . . . . 7 |- ((x e. om /\ y e. x) -> Ord y)
5	4	ancoms 438	. . . . . 6 |- ((y e. x /\ x e. om) -> Ord y)
6		trel 2761	. . . . . . . . . . . . 13 |- (Tr z -> ((y e. x /\ x e. z) -> y e. z))
7	6	exp3a 374	. . . . . . . . . . . 12 |- (Tr z -> (y e. x -> (x e. z -> y e. z)))
8	7	com12 11	. . . . . . . . . . 11 |- (y e. x -> (Tr z -> (x e. z -> y e. z)))
9		limord 3032	. . . . . . . . . . . 12 |- (Lim z -> Ord z)
10		ordtr 2989	. . . . . . . . . . . 12 |- (Ord z -> Tr z)
11	9, 10	syl 10	. . . . . . . . . . 11 |- (Lim z -> Tr z)
12	8, 11	syl5 21	. . . . . . . . . 10 |- (y e. x -> (Lim z -> (x e. z -> y e. z)))
13	12	a2d 13	. . . . . . . . 9 |- (y e. x -> ((Lim z -> x e. z) -> (Lim z -> y e. z)))
14	13	19.20dv 1327	. . . . . . . 8 |- (y e. x -> (A.z(Lim z -> x e. z) -> A.z(Lim z -> y e. z)))
15		visset 1859	. . . . . . . . . 10 |- x e. V
16	15	elom 3221	. . . . . . . . 9 |- (x e. om <-> (Ord x /\ A.z(Lim z -> x e. z)))
17	16	pm3.27bi 324	. . . . . . . 8 |- (x e. om -> A.z(Lim z -> x e. z))
18	14, 17	syl5 21	. . . . . . 7 |- (y e. x -> (x e. om -> A.z(Lim z -> y e. z)))
19	18	imp 348	. . . . . 6 |- ((y e. x /\ x e. om) -> A.z(Lim z -> y e. z))
20	5, 19	jca 286	. . . . 5 |- ((y e. x /\ x e. om) -> (Ord y /\ A.z(Lim z -> y e. z)))
21		visset 1859	. . . . . 6 |- y e. V
22	21	elom 3221	. . . . 5 |- (y e. om <-> (Ord y /\ A.z(Lim z -> y e. z)))
23	20, 22	sylibr 198	. . . 4 |- ((y e. x /\ x e. om) -> y e. om)
24	23	ax-gen 999	. . 3 |- A.x((y e. x /\ x e. om) -> y e. om)
25	1, 24	mpgbir 1024	. 2 |- Tr om
26		omsson 3223	. 2 |- om (_ On
27		ordon 3141	. 2 |- Ord On
28		trssord 2992	. 2 |- ((Tr om /\ om (_ On /\ Ord On) -> Ord om)
29	25, 26, 27, 28	mp3an 922	1 |- Ord om

Syntax hints:   -> wi 3   /\ wa 221  A.wal 990   e. wcel 994   (_ wss 2099  Tr wtr 2754  Ord word 2974  Oncon0 2975  Lim wlim 2976  omcom 3218

This theorem is referenced by:  elnn 3229  omon 3230  limom 3233  ssnlim 3236  peano5 3241  nnarcl 4372  oaabslem 4391  oaabs 4392  onomeneq 4665  ominf 4675  omsdomnn 4676  alephgeom 5032  iscard3 5038  omsublim 11448

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 998  ax-gen 999  ax-8 1000  ax-10 1002  ax-11 1003  ax-12 1004  ax-13 1005  ax-14 1006  ax-17 1007  ax-4 1009  ax-5o 1011  ax-6o 1014  ax-9o 1159  ax-10o 1177  ax-16 1247  ax-11o 1255  ax-ext 1500  ax-sep 2777  ax-pow 2818  ax-pr 2855  ax-un 3089

This theorem depends on definitions:  df-bi 145  df-or 222  df-an 223  df-3or 782  df-3an 783  df-ex 1017  df-sb 1209  df-eu 1421  df-mo 1422  df-clab 1506  df-cleq 1511  df-clel 1514  df-ne 1630  df-ral 1695  df-rex 1696  df-v 1858  df-dif 2101  df-un 2102  df-in 2103  df-ss 2105  df-nul 2333  df-pw 2459  df-sn 2470  df-pr 2471  df-tp 2473  df-op 2474  df-uni 2570  df-br 2693  df-opab 2741  df-tr 2755  df-eprel 2910  df-po 2918  df-so 2929  df-fr 2947  df-we 2962  df-ord 2978  df-on 2979  df-lim 2980  df-om 3219

Copyright terms: Public domain