MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ordom Unicode version

Theorem ordom 4637
Description: Omega is ordinal. Theorem 7.32 of [TakeutiZaring] p. 43. (Contributed by NM, 18-Oct-1995.) (Proof shortened by Andrew Salmon, 27-Aug-2011.)
Assertion
Ref Expression
ordom  |-  Ord  om

Proof of Theorem ordom
StepHypRef Expression
1 dftr2 4089 . . 3  |-  ( Tr 
om 
<-> 
A. y A. x
( ( y  e.  x  /\  x  e. 
om )  ->  y  e.  om ) )
2 onelon 4389 . . . . . . . 8  |-  ( ( x  e.  On  /\  y  e.  x )  ->  y  e.  On )
32expcom 426 . . . . . . 7  |-  ( y  e.  x  ->  (
x  e.  On  ->  y  e.  On ) )
4 limord 4423 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( Lim  z  ->  Ord  z )
5 ordtr 4378 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( Ord  z  ->  Tr  z
)
6 trel 4094 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( Tr  z  ->  ( (
y  e.  x  /\  x  e.  z )  ->  y  e.  z ) )
74, 5, 63syl 20 . . . . . . . . . . 11  |-  ( Lim  z  ->  ( (
y  e.  x  /\  x  e.  z )  ->  y  e.  z ) )
87exp3a 427 . . . . . . . . . 10  |-  ( Lim  z  ->  ( y  e.  x  ->  ( x  e.  z  ->  y  e.  z ) ) )
98com12 29 . . . . . . . . 9  |-  ( y  e.  x  ->  ( Lim  z  ->  ( x  e.  z  ->  y  e.  z ) ) )
109a2d 25 . . . . . . . 8  |-  ( y  e.  x  ->  (
( Lim  z  ->  x  e.  z )  -> 
( Lim  z  ->  y  e.  z ) ) )
1110alimdv 2018 . . . . . . 7  |-  ( y  e.  x  ->  ( A. z ( Lim  z  ->  x  e.  z )  ->  A. z ( Lim  z  ->  y  e.  z ) ) )
123, 11anim12d 548 . . . . . 6  |-  ( y  e.  x  ->  (
( x  e.  On  /\ 
A. z ( Lim  z  ->  x  e.  z ) )  -> 
( y  e.  On  /\ 
A. z ( Lim  z  ->  y  e.  z ) ) ) )
13 elom 4631 . . . . . 6  |-  ( x  e.  om  <->  ( x  e.  On  /\  A. z
( Lim  z  ->  x  e.  z ) ) )
14 elom 4631 . . . . . 6  |-  ( y  e.  om  <->  ( y  e.  On  /\  A. z
( Lim  z  ->  y  e.  z ) ) )
1512, 13, 143imtr4g 263 . . . . 5  |-  ( y  e.  x  ->  (
x  e.  om  ->  y  e.  om ) )
1615imp 420 . . . 4  |-  ( ( y  e.  x  /\  x  e.  om )  ->  y  e.  om )
1716ax-gen 1536 . . 3  |-  A. x
( ( y  e.  x  /\  x  e. 
om )  ->  y  e.  om )
181, 17mpgbir 1544 . 2  |-  Tr  om
19 omsson 4632 . 2  |-  om  C_  On
20 ordon 4546 . 2  |-  Ord  On
21 trssord 4381 . 2  |-  ( ( Tr  om  /\  om  C_  On  /\  Ord  On )  ->  Ord  om )
2218, 19, 20, 21mp3an 1282 1  |-  Ord  om
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 6    /\ wa 360   A.wal 1532    e. wcel 1621    C_ wss 3127   Tr wtr 4087   Ord word 4363   Oncon0 4364   Lim wlim 4365   omcom 4628
This theorem is referenced by:  elnn  4638  omon  4639  limom  4643  ssnlim  4646  peano5  4651  nnarcl  6582  nnawordex  6603  oaabslem  6609  oaabs2  6611  omabslem  6612  onomeneq  7018  ominf  7043  findcard3  7068  nnsdomg  7084  dffi3  7152  wofib  7228  alephgeom  7677  iscard3  7688  iunfictbso  7709  unctb  7799  ackbij2lem1  7813  ackbij1lem3  7816  ackbij1lem18  7831  ackbij2  7837  cflim2  7857  fin23lem26  7919  fin23lem23  7920  fin23lem27  7922  fin67  7989  alephexp1  8169  pwfseqlem3  8250  pwcdandom  8257  winainflem  8283  wunex2  8328  om2uzoi  10985  ltweuz  10991  fz1isolem  11365  mreexexd  13513  1stcrestlem  17141  omsinds  23589  hfuni  24190  hfninf  24192
This theorem was proved from axioms:  ax-1 7  ax-2 8  ax-3 9  ax-mp 10  ax-5 1533  ax-6 1534  ax-7 1535  ax-gen 1536  ax-8 1623  ax-11 1624  ax-13 1625  ax-14 1626  ax-17 1628  ax-12o 1664  ax-10 1678  ax-9 1684  ax-4 1692  ax-16 1927  ax-ext 2239  ax-sep 4115  ax-nul 4123  ax-pr 4186  ax-un 4484
This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3or 940  df-3an 941  df-tru 1315  df-ex 1538  df-nf 1540  df-sb 1884  df-eu 2122  df-mo 2123  df-clab 2245  df-cleq 2251  df-clel 2254  df-nfc 2383  df-ne 2423  df-ral 2523  df-rex 2524  df-rab 2527  df-v 2765  df-sbc 2967  df-dif 3130  df-un 3132  df-in 3134  df-ss 3141  df-pss 3143  df-nul 3431  df-if 3540  df-sn 3620  df-pr 3621  df-tp 3622  df-op 3623  df-uni 3802  df-br 3998  df-opab 4052  df-tr 4088  df-eprel 4277  df-po 4286  df-so 4287  df-fr 4324  df-we 4326  df-ord 4367  df-on 4368  df-lim 4369  df-suc 4370  df-om 4629
  Copyright terms: Public domain W3C validator