MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ordom Structured version   Unicode version

Theorem ordom 4846
Description: Omega is ordinal. Theorem 7.32 of [TakeutiZaring] p. 43. (Contributed by NM, 18-Oct-1995.) (Proof shortened by Andrew Salmon, 27-Aug-2011.)
Assertion
Ref Expression
ordom  |-  Ord  om

Proof of Theorem ordom
Dummy variables  x  y  z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 dftr2 4296 . . 3  |-  ( Tr 
om 
<-> 
A. y A. x
( ( y  e.  x  /\  x  e. 
om )  ->  y  e.  om ) )
2 onelon 4598 . . . . . . . 8  |-  ( ( x  e.  On  /\  y  e.  x )  ->  y  e.  On )
32expcom 425 . . . . . . 7  |-  ( y  e.  x  ->  (
x  e.  On  ->  y  e.  On ) )
4 limord 4632 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( Lim  z  ->  Ord  z )
5 ordtr 4587 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( Ord  z  ->  Tr  z
)
6 trel 4301 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( Tr  z  ->  ( (
y  e.  x  /\  x  e.  z )  ->  y  e.  z ) )
74, 5, 63syl 19 . . . . . . . . . . 11  |-  ( Lim  z  ->  ( (
y  e.  x  /\  x  e.  z )  ->  y  e.  z ) )
87exp3a 426 . . . . . . . . . 10  |-  ( Lim  z  ->  ( y  e.  x  ->  ( x  e.  z  ->  y  e.  z ) ) )
98com12 29 . . . . . . . . 9  |-  ( y  e.  x  ->  ( Lim  z  ->  ( x  e.  z  ->  y  e.  z ) ) )
109a2d 24 . . . . . . . 8  |-  ( y  e.  x  ->  (
( Lim  z  ->  x  e.  z )  -> 
( Lim  z  ->  y  e.  z ) ) )
1110alimdv 1631 . . . . . . 7  |-  ( y  e.  x  ->  ( A. z ( Lim  z  ->  x  e.  z )  ->  A. z ( Lim  z  ->  y  e.  z ) ) )
123, 11anim12d 547 . . . . . 6  |-  ( y  e.  x  ->  (
( x  e.  On  /\ 
A. z ( Lim  z  ->  x  e.  z ) )  -> 
( y  e.  On  /\ 
A. z ( Lim  z  ->  y  e.  z ) ) ) )
13 elom 4840 . . . . . 6  |-  ( x  e.  om  <->  ( x  e.  On  /\  A. z
( Lim  z  ->  x  e.  z ) ) )
14 elom 4840 . . . . . 6  |-  ( y  e.  om  <->  ( y  e.  On  /\  A. z
( Lim  z  ->  y  e.  z ) ) )
1512, 13, 143imtr4g 262 . . . . 5  |-  ( y  e.  x  ->  (
x  e.  om  ->  y  e.  om ) )
1615imp 419 . . . 4  |-  ( ( y  e.  x  /\  x  e.  om )  ->  y  e.  om )
1716ax-gen 1555 . . 3  |-  A. x
( ( y  e.  x  /\  x  e. 
om )  ->  y  e.  om )
181, 17mpgbir 1559 . 2  |-  Tr  om
19 omsson 4841 . 2  |-  om  C_  On
20 ordon 4755 . 2  |-  Ord  On
21 trssord 4590 . 2  |-  ( ( Tr  om  /\  om  C_  On  /\  Ord  On )  ->  Ord  om )
2218, 19, 20, 21mp3an 1279 1  |-  Ord  om
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 359   A.wal 1549    e. wcel 1725    C_ wss 3312   Tr wtr 4294   Ord word 4572   Oncon0 4573   Lim wlim 4574   omcom 4837
This theorem is referenced by:  elnn  4847  omon  4848  limom  4852  ssnlim  4855  peano5  4860  nnarcl  6851  nnawordex  6872  oaabslem  6878  oaabs2  6880  omabslem  6881  onomeneq  7288  ominf  7313  findcard3  7342  nnsdomg  7358  dffi3  7428  wofib  7506  alephgeom  7955  iscard3  7966  iunfictbso  7987  unctb  8077  ackbij2lem1  8091  ackbij1lem3  8094  ackbij1lem18  8109  ackbij2  8115  cflim2  8135  fin23lem26  8197  fin23lem23  8198  fin23lem27  8200  fin67  8267  alephexp1  8446  pwfseqlem3  8527  pwcdandom  8534  winainflem  8560  wunex2  8605  om2uzoi  11287  ltweuz  11293  fz1isolem  11702  mreexexd  13865  1stcrestlem  17507  omsinds  25486  hfuni  26117  hfninf  26119
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1555  ax-5 1566  ax-17 1626  ax-9 1666  ax-8 1687  ax-13 1727  ax-14 1729  ax-6 1744  ax-7 1749  ax-11 1761  ax-12 1950  ax-ext 2416  ax-sep 4322  ax-nul 4330  ax-pr 4395  ax-un 4693
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1328  df-ex 1551  df-nf 1554  df-sb 1659  df-eu 2284  df-mo 2285  df-clab 2422  df-cleq 2428  df-clel 2431  df-nfc 2560  df-ne 2600  df-ral 2702  df-rex 2703  df-rab 2706  df-v 2950  df-sbc 3154  df-dif 3315  df-un 3317  df-in 3319  df-ss 3326  df-pss 3328  df-nul 3621  df-if 3732  df-sn 3812  df-pr 3813  df-tp 3814  df-op 3815  df-uni 4008  df-br 4205  df-opab 4259  df-tr 4295  df-eprel 4486  df-po 4495  df-so 4496  df-fr 4533  df-we 4535  df-ord 4576  df-on 4577  df-lim 4578  df-suc 4579  df-om 4838
  Copyright terms: Public domain W3C validator