MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ordon Unicode version

Theorem ordon 4511
Description: The class of all ordinal numbers is ordinal. Proposition 7.12 of [TakeutiZaring] p. 38, but without using the Axiom of Regularity. (Contributed by NM, 17-May-1994.)
Assertion
Ref Expression
ordon  |-  Ord  On

Proof of Theorem ordon
StepHypRef Expression
1 tron 4352 . 2  |-  Tr  On
2 onfr 4368 . . 3  |-  _E  Fr  On
3 eloni 4339 . . . . 5  |-  ( x  e.  On  ->  Ord  x )
4 eloni 4339 . . . . 5  |-  ( y  e.  On  ->  Ord  y )
5 ordtri3or 4361 . . . . . 6  |-  ( ( Ord  x  /\  Ord  y )  ->  (
x  e.  y  \/  x  =  y  \/  y  e.  x ) )
6 epel 4245 . . . . . . 7  |-  ( x  _E  y  <->  x  e.  y )
7 biid 229 . . . . . . 7  |-  ( x  =  y  <->  x  =  y )
8 epel 4245 . . . . . . 7  |-  ( y  _E  x  <->  y  e.  x )
96, 7, 83orbi123i 1146 . . . . . 6  |-  ( ( x  _E  y  \/  x  =  y  \/  y  _E  x )  <-> 
( x  e.  y  \/  x  =  y  \/  y  e.  x
) )
105, 9sylibr 205 . . . . 5  |-  ( ( Ord  x  /\  Ord  y )  ->  (
x  _E  y  \/  x  =  y  \/  y  _E  x ) )
113, 4, 10syl2an 465 . . . 4  |-  ( ( x  e.  On  /\  y  e.  On )  ->  ( x  _E  y  \/  x  =  y  \/  y  _E  x
) )
1211rgen2a 2580 . . 3  |-  A. x  e.  On  A. y  e.  On  ( x  _E  y  \/  x  =  y  \/  y  _E  x )
13 dfwe2 4510 . . 3  |-  (  _E  We  On  <->  (  _E  Fr  On  /\  A. x  e.  On  A. y  e.  On  ( x  _E  y  \/  x  =  y  \/  y  _E  x ) ) )
142, 12, 13mpbir2an 891 . 2  |-  _E  We  On
15 df-ord 4332 . 2  |-  ( Ord 
On 
<->  ( Tr  On  /\  _E  We  On ) )
161, 14, 15mpbir2an 891 1  |-  Ord  On
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    /\ wa 360    \/ w3o 938    = wceq 1619    e. wcel 1621   A.wral 2516   class class class wbr 3963   Tr wtr 4053    _E cep 4240    Fr wfr 4286    We wwe 4288   Ord word 4328   Oncon0 4329
This theorem is referenced by:  epweon  4512  onprc  4513  ssorduni  4514  ordeleqon  4517  ordsson  4518  onint  4523  suceloni  4541  limon  4564  tfi  4581  ordom  4602  ordtypelem2  7167  hartogs  7192  card2on  7201  tskwe  7516  alephsmo  7662  ondomon  8118  tartarmap  25220  dford3lem2  26452  dford3  26453
This theorem was proved from axioms:  ax-1 7  ax-2 8  ax-3 9  ax-mp 10  ax-5 1533  ax-6 1534  ax-7 1535  ax-gen 1536  ax-8 1623  ax-11 1624  ax-13 1625  ax-14 1626  ax-17 1628  ax-12o 1664  ax-10 1678  ax-9 1684  ax-4 1692  ax-16 1927  ax-ext 2237  ax-sep 4081  ax-nul 4089  ax-pr 4152  ax-un 4449
This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3or 940  df-3an 941  df-tru 1315  df-ex 1538  df-nf 1540  df-sb 1884  df-eu 2121  df-mo 2122  df-clab 2243  df-cleq 2249  df-clel 2252  df-nfc 2381  df-ne 2421  df-ral 2520  df-rex 2521  df-rab 2523  df-v 2742  df-sbc 2936  df-dif 3097  df-un 3099  df-in 3101  df-ss 3108  df-pss 3110  df-nul 3398  df-if 3507  df-sn 3587  df-pr 3588  df-tp 3589  df-op 3590  df-uni 3769  df-br 3964  df-opab 4018  df-tr 4054  df-eprel 4242  df-po 4251  df-so 4252  df-fr 4289  df-we 4291  df-ord 4332  df-on 4333
  Copyright terms: Public domain W3C validator