MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ordon Unicode version

Theorem ordon 4546
Description: The class of all ordinal numbers is ordinal. Proposition 7.12 of [TakeutiZaring] p. 38, but without using the Axiom of Regularity. (Contributed by NM, 17-May-1994.)
Assertion
Ref Expression
ordon  |-  Ord  On

Proof of Theorem ordon
StepHypRef Expression
1 tron 4387 . 2  |-  Tr  On
2 onfr 4403 . . 3  |-  _E  Fr  On
3 eloni 4374 . . . . 5  |-  ( x  e.  On  ->  Ord  x )
4 eloni 4374 . . . . 5  |-  ( y  e.  On  ->  Ord  y )
5 ordtri3or 4396 . . . . . 6  |-  ( ( Ord  x  /\  Ord  y )  ->  (
x  e.  y  \/  x  =  y  \/  y  e.  x ) )
6 epel 4280 . . . . . . 7  |-  ( x  _E  y  <->  x  e.  y )
7 biid 229 . . . . . . 7  |-  ( x  =  y  <->  x  =  y )
8 epel 4280 . . . . . . 7  |-  ( y  _E  x  <->  y  e.  x )
96, 7, 83orbi123i 1146 . . . . . 6  |-  ( ( x  _E  y  \/  x  =  y  \/  y  _E  x )  <-> 
( x  e.  y  \/  x  =  y  \/  y  e.  x
) )
105, 9sylibr 205 . . . . 5  |-  ( ( Ord  x  /\  Ord  y )  ->  (
x  _E  y  \/  x  =  y  \/  y  _E  x ) )
113, 4, 10syl2an 465 . . . 4  |-  ( ( x  e.  On  /\  y  e.  On )  ->  ( x  _E  y  \/  x  =  y  \/  y  _E  x
) )
1211rgen2a 2584 . . 3  |-  A. x  e.  On  A. y  e.  On  ( x  _E  y  \/  x  =  y  \/  y  _E  x )
13 dfwe2 4545 . . 3  |-  (  _E  We  On  <->  (  _E  Fr  On  /\  A. x  e.  On  A. y  e.  On  ( x  _E  y  \/  x  =  y  \/  y  _E  x ) ) )
142, 12, 13mpbir2an 891 . 2  |-  _E  We  On
15 df-ord 4367 . 2  |-  ( Ord 
On 
<->  ( Tr  On  /\  _E  We  On ) )
161, 14, 15mpbir2an 891 1  |-  Ord  On
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    /\ wa 360    \/ w3o 938    = wceq 1619    e. wcel 1621   A.wral 2518   class class class wbr 3997   Tr wtr 4087    _E cep 4275    Fr wfr 4321    We wwe 4323   Ord word 4363   Oncon0 4364
This theorem is referenced by:  epweon  4547  onprc  4548  ssorduni  4549  ordeleqon  4552  ordsson  4553  onint  4558  suceloni  4576  limon  4599  tfi  4616  ordom  4637  ordtypelem2  7202  hartogs  7227  card2on  7236  tskwe  7551  alephsmo  7697  ondomon  8153  tartarmap  25256  dford3lem2  26488  dford3  26489
This theorem was proved from axioms:  ax-1 7  ax-2 8  ax-3 9  ax-mp 10  ax-5 1533  ax-6 1534  ax-7 1535  ax-gen 1536  ax-8 1623  ax-11 1624  ax-13 1625  ax-14 1626  ax-17 1628  ax-12o 1664  ax-10 1678  ax-9 1684  ax-4 1692  ax-16 1927  ax-ext 2239  ax-sep 4115  ax-nul 4123  ax-pr 4186  ax-un 4484
This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3or 940  df-3an 941  df-tru 1315  df-ex 1538  df-nf 1540  df-sb 1884  df-eu 2122  df-mo 2123  df-clab 2245  df-cleq 2251  df-clel 2254  df-nfc 2383  df-ne 2423  df-ral 2523  df-rex 2524  df-rab 2527  df-v 2765  df-sbc 2967  df-dif 3130  df-un 3132  df-in 3134  df-ss 3141  df-pss 3143  df-nul 3431  df-if 3540  df-sn 3620  df-pr 3621  df-tp 3622  df-op 3623  df-uni 3802  df-br 3998  df-opab 4052  df-tr 4088  df-eprel 4277  df-po 4286  df-so 4287  df-fr 4324  df-we 4326  df-ord 4367  df-on 4368
  Copyright terms: Public domain W3C validator