Theorem ordpipq 5068

Description: Ordering of positive fractions in terms of positive integers.

Hypotheses

Ref	Expression
ordpipq.1	|- A e. V
ordpipq.2	|- B e. V
ordpipq.3	|- C e. V
ordpipq.4	|- D e. V

Assertion

Ref	Expression
ordpipq	|- ([<.A, B>.] ~Q <Q [<.C, D>.] ~Q <-> (A .N D) <N (B .N C))

Proof of Theorem ordpipq

Step	Hyp	Ref	Expression
1		enqex 5060	. 2 |- ~Q e. V
2		ordpipq.2	. 2 |- B e. V
3		ordpipq.3	. 2 |- C e. V
4		ordpipq.4	. 2 |- D e. V
5		dmenq 5057	. 2 |- dom ~Q = (N. X. N.)
6		df-nq 5050	. 2 |- Q. = ((N. X. N.)/. ~Q )
7		ltrelpq 5063	. 2 |- <Q (_ (Q. X. Q.)
8		ltrelpi 5029	. 2 |- <N (_ (N. X. N.)
9		0npi 5022	. 2 |- -. (/) e. N.
10		dmmulpi 5031	. 2 |- dom .N = (N. X. N.)
11		enqer 5058	. . 3 |- Er ~Q
12		df-ltq 5054	. . 3 |- <Q = {<.x, y>. | ((x e. Q. /\ y e. Q.) /\ E.zE.wE.vE.u((x = [<.z, w>.] ~Q /\ y = [<.v, u>.] ~Q ) /\ (z .N u) <N (w .N v)))}
13		enqeceq 5059	. . . . . 6 |- (((z e. N. /\ w e. N.) /\ (A e. N. /\ B e. N.)) -> ([<.z, w>.] ~Q = [<.A, B>.] ~Q <-> (z .N B) = (w .N A)))
14		enqeceq 5059	. . . . . . 7 |- (((v e. N. /\ u e. N.) /\ (C e. N. /\ D e. N.)) -> ([<.v, u>.] ~Q = [<.C, D>.] ~Q <-> (v .N D) = (u .N C)))
15		eqcom 1480	. . . . . . 7 |- ((v .N D) = (u .N C) <-> (u .N C) = (v .N D))
16	14, 15	syl6bb 538	. . . . . 6 |- (((v e. N. /\ u e. N.) /\ (C e. N. /\ D e. N.)) -> ([<.v, u>.] ~Q = [<.C, D>.] ~Q <-> (u .N C) = (v .N D)))
17	13, 16	bi2anan9 634	. . . . 5 |- ((((z e. N. /\ w e. N.) /\ (A e. N. /\ B e. N.)) /\ ((v e. N. /\ u e. N.) /\ (C e. N. /\ D e. N.))) -> (([<.z, w>.] ~Q = [<.A, B>.] ~Q /\ [<.v, u>.] ~Q = [<.C, D>.] ~Q ) <-> ((z .N B) = (w .N A) /\ (u .N C) = (v .N D))))
18		opreq12 3976	. . . . . 6 |- (((z .N B) = (w .N A) /\ (u .N C) = (v .N D)) -> ((z .N B) .N (u .N C)) = ((w .N A) .N (v .N D)))
19		visset 1816	. . . . . . 7 |- z e. V
20		visset 1816	. . . . . . 7 |- u e. V
21		visset 1816	. . . . . . . 8 |- x e. V
22		visset 1816	. . . . . . . 8 |- y e. V
23	21, 22	mulcompi 5036	. . . . . . 7 |- (x .N y) = (y .N x)
24		visset 1816	. . . . . . . 8 |- f e. V
25	22, 24	mulasspi 5037	. . . . . . 7 |- ((x .N y) .N f) = (x .N (y .N f))
26	19, 20, 2, 23, 25, 3	caopr4 4070	. . . . . 6 |- ((z .N u) .N (B .N C)) = ((z .N B) .N (u .N C))
27		visset 1816	. . . . . . 7 |- w e. V
28		visset 1816	. . . . . . 7 |- v e. V
29		ordpipq.1	. . . . . . 7 |- A e. V
30	27, 28, 29, 23, 25, 4	caopr4 4070	. . . . . 6 |- ((w .N v) .N (A .N D)) = ((w .N A) .N (v .N D))
31	18, 26, 30	3eqtr4g 1534	. . . . 5 |- (((z .N B) = (w .N A) /\ (u .N C) = (v .N D)) -> ((z .N u) .N (B .N C)) = ((w .N v) .N (A .N D)))
32	17, 31	syl6bi 214	. . . 4 |- ((((z e. N. /\ w e. N.) /\ (A e. N. /\ B e. N.)) /\ ((v e. N. /\ u e. N.) /\ (C e. N. /\ D e. N.))) -> (([<.z, w>.] ~Q = [<.A, B>.] ~Q /\ [<.v, u>.] ~Q = [<.C, D>.] ~Q ) -> ((z .N u) .N (B .N C)) = ((w .N v) .N (A .N D))))
33		mulclpi 5033	. . . . . . . . 9 |- ((B e. N. /\ C e. N.) -> (B .N C) e. N.)
34	33	ad2ant2lr 412	. . . . . . . 8 |- (((A e. N. /\ B e. N.) /\ (C e. N. /\ D e. N.)) -> (B .N C) e. N.)
35		mulclpi 5033	. . . . . . . . 9 |- ((w e. N. /\ v e. N.) -> (w .N v) e. N.)
36	35	ad2ant2lr 412	. . . . . . . 8 |- (((z e. N. /\ w e. N.) /\ (v e. N. /\ u e. N.)) -> (w .N v) e. N.)
37	34, 36	anim12i 333	. . . . . . 7 |- ((((A e. N. /\ B e. N.) /\ (C e. N. /\ D e. N.)) /\ ((z e. N. /\ w e. N.) /\ (v e. N. /\ u e. N.))) -> ((B .N C) e. N. /\ (w .N v) e. N.))
38	37	ancoms 438	. . . . . 6 |- ((((z e. N. /\ w e. N.) /\ (v e. N. /\ u e. N.)) /\ ((A e. N. /\ B e. N.) /\ (C e. N. /\ D e. N.))) -> ((B .N C) e. N. /\ (w .N v) e. N.))
39	38	an4s 510	. . . . 5 |- ((((z e. N. /\ w e. N.) /\ (A e. N. /\ B e. N.)) /\ ((v e. N. /\ u e. N.) /\ (C e. N. /\ D e. N.))) -> ((B .N C) e. N. /\ (w .N v) e. N.))
40		oprex 3989	. . . . . . 7 |- (z .N u) e. V
41		oprex 3989	. . . . . . 7 |- (B .N C) e. V
42	21, 22	ltmpi 5043	. . . . . . 7 |- (f e. N. -> (x <N y <-> (f .N x) <N (f .N y)))
43		oprex 3989	. . . . . . 7 |- (w .N v) e. V
44		oprex 3989	. . . . . . 7 |- (A .N D) e. V
45	40, 41, 42, 43, 23, 44	caoprord3 4064	. . . . . 6 |- ((((B .N C) e. N. /\ (w .N v) e. N.) /\ ((z .N u) .N (B .N C)) = ((w .N v) .N (A .N D))) -> ((z .N u) <N (w .N v) <-> (A .N D) <N (B .N C)))
46	45	ex 373	. . . . 5 |- (((B .N C) e. N. /\ (w .N v) e. N.) -> (((z .N u) .N (B .N C)) = ((w .N v) .N (A .N D)) -> ((z .N u) <N (w .N v) <-> (A .N D) <N (B .N C))))
47	39, 46	syl 10	. . . 4 |- ((((z e. N. /\ w e. N.) /\ (A e. N. /\ B e. N.)) /\ ((v e. N. /\ u e. N.) /\ (C e. N. /\ D e. N.))) -> (((z .N u) .N (B .N C)) = ((w .N v) .N (A .N D)) -> ((z .N u) <N (w .N v) <-> (A .N D) <N (B .N C))))
48	32, 47	syld 27	. . 3 |- ((((z e. N. /\ w e. N.) /\ (A e. N. /\ B e. N.)) /\ ((v e. N. /\ u e. N.) /\ (C e. N. /\ D e. N.))) -> (([<.z, w>.] ~Q = [<.A, B>.] ~Q /\ [<.v, u>.] ~Q = [<.C, D>.] ~Q ) -> ((z .N u) <N (w .N v) <-> (A .N D) <N (B .N C))))
49	1, 11, 5, 6, 12, 48	brecop 4312	. 2 |- (((A e. N. /\ B e. N.) /\ (C e. N. /\ D e. N.)) -> ([<.A, B>.] ~Q <Q [<.C, D>.] ~Q <-> (A .N D) <N (B .N C)))
50	1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 49	brecop2 4313	1 |- ([<.A, B>.] ~Q <Q [<.C, D>.] ~Q <-> (A .N D) <N (B .N C))

Syntax hints:   -> wi 3   <-> wb 146   /\ wa 223   = wceq 958   e. wcel 960  Vcvv 1814  <.cop 2415   class class class wbr 2624  (class class class)co 3969  [cec 4265  N.cnpi 4984   .N cmi 4986   <N clti 4987   ~Q ceq 4990  Q.cnq 4991   <Q cltq 4996

This theorem is referenced by:  ltsopq 5087  ltapq 5088  ltmpq 5089  1lt2pq 5090  ltexpq 5092  prlem934b 5150

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 964  ax-gen 965  ax-8 966  ax-9 967  ax-10 968  ax-11 969  ax-12 970  ax-13 971  ax-14 972  ax-17 973  ax-4 975  ax-5o 977  ax-6o 980  ax-9o 1125  ax-10o 1142  ax-16 1212  ax-11o 1220  ax-ext 1462  ax-rep 2698  ax-sep 2708  ax-nul 2715  ax-pow 2748  ax-pr 2785  ax-un 2872  ax-inf2 4634

This theorem depends on definitions:  df-bi 147  df-or 224  df-an 225  df-3or 778  df-3an 779  df-ex 983  df-sb 1174  df-eu 1384  df-mo 1385  df-clab 1467  df-cleq 1472  df-clel 1475  df-ne 1590  df-ral 1652  df-rex 1653  df-reu 1654  df-rab 1655  df-v 1815  df-sbc 1945  df-csb 2005  df-dif 2052  df-un 2053  df-in 2054  df-ss 2056  df-nul 2284  df-if 2366  df-pw 2406  df-sn 2416  df-pr 2417  df-tp 2419  df-op 2420  df-uni 2508  df-int 2538  df-iun 2572  df-br 2625  df-opab 2672  df-tr 2686  df-eprel 2838  df-id 2841  df-po 2846  df-so 2856  df-fr 2923  df-we 2940  df-ord 2957  df-on 2958  df-lim 2959  df-suc 2960  df-om 3138  df-xp 3190  df-rel 3191  df-cnv 3192  df-co 3193  df-dm 3194  df-rn 3195  df-res 3196  df-ima 3197  df-fun 3198  df-fn 3199  df-f 3200  df-fv 3204  df-rdg 3938  df-opr 3971  df-oprab 3972  df-1st 4085  df-2nd 4086  df-1o 4139  df-oadd 4141  df-omul 4142  df-er 4267  df-ec 4269  df-qs 4272  df-ni 5012  df-mi 5014  df-lti 5015  df-enq 5049  df-nq 5050  df-ltq 5054

Copyright terms: Public domain