Theorem ordsssuc 3047

Description: A subset of an ordinal belongs to its successor.

Assertion

Ref	Expression
ordsssuc	|- ((A e. On /\ Ord B) -> (A (_ B <-> A e. suc B))

Proof of Theorem ordsssuc

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ordsseleq 2966	. . 3 |- ((Ord A /\ Ord B) -> (A (_ B <-> (A e. B \/ A = B)))
2		eloni 2948	. . 3 |- (A e. On -> Ord A)
3	1, 2	sylan 448	. 2 |- ((A e. On /\ Ord B) -> (A (_ B <-> (A e. B \/ A = B)))
4		elsucg 3026	. . 3 |- (A e. On -> (A e. suc B <-> (A e. B \/ A = B)))
5	4	adantr 389	. 2 |- ((A e. On /\ Ord B) -> (A e. suc B <-> (A e. B \/ A = B)))
6	3, 5	bitr4d 529	1 |- ((A e. On /\ Ord B) -> (A (_ B <-> A e. suc B))

Syntax hints:   -> wi 3   <-> wb 146   \/ wo 222   /\ wa 223   = wceq 953   e. wcel 955   (_ wss 2037  Ord word 2937  Oncon0 2938  suc csuc 2940

This theorem is referenced by:  onsssuc 3048  ordpwsuc 3056  ordsucun 3072  ordunisssuc 3073

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 959  ax-gen 960  ax-8 961  ax-10 963  ax-11 964  ax-12 965  ax-13 966  ax-14 967  ax-17 968  ax-4 970  ax-5o 972  ax-6o 975  ax-9o 1119  ax-10o 1136  ax-16 1206  ax-11o 1213  ax-ext 1452  ax-sep 2693  ax-pow 2732  ax-pr 2769

This theorem depends on definitions:  df-bi 147  df-or 224  df-an 225  df-3or 774  df-3an 775  df-ex 978  df-sb 1168  df-eu 1375  df-mo 1376  df-clab 1457  df-cleq 1462  df-clel 1465  df-ne 1579  df-ral 1641  df-rex 1642  df-v 1803  df-dif 2039  df-un 2040  df-in 2041  df-ss 2043  df-nul 2271  df-pw 2392  df-sn 2402  df-pr 2403  df-op 2406  df-uni 2494  df-br 2610  df-opab 2657  df-tr 2671  df-eprel 2821  df-po 2831  df-so 2841  df-fr 2907  df-we 2924  df-ord 2941  df-on 2942  df-suc 2944

Copyright terms: Public domain