Theorem ordsuc 3171

Description: The successor of an ordinal class is ordinal.

Assertion

Ref	Expression
ordsuc	|- (Ord A <-> Ord suc A)

Proof of Theorem ordsuc

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elong 2983	. . . 4 |- (A e. V -> (A e. On <-> Ord A))
2		suceloni 3170	. . . . 5 |- (A e. On -> suc A e. On)
3		eloni 2985	. . . . 5 |- (suc A e. On -> Ord suc A)
4	2, 3	syl 10	. . . 4 |- (A e. On -> Ord suc A)
5	1, 4	syl6bir 213	. . 3 |- (A e. V -> (Ord A -> Ord suc A))
6		ordelord 2997	. . . . 5 |- ((Ord suc A /\ A e. suc A) -> Ord A)
7	6	ex 371	. . . 4 |- (Ord suc A -> (A e. suc A -> Ord A))
8		sucidg 3052	. . . 4 |- (A e. V -> A e. suc A)
9	7, 8	syl5com 52	. . 3 |- (A e. V -> (Ord suc A -> Ord A))
10	5, 9	impbid 519	. 2 |- (A e. V -> (Ord A <-> Ord suc A))
11		sucprc 3048	. . . 4 |- (-. A e. V -> suc A = A)
12	11	eqcomd 1523	. . 3 |- (-. A e. V -> A = suc A)
13		ordeq 2982	. . 3 |- (A = suc A -> (Ord A <-> Ord suc A))
14	12, 13	syl 10	. 2 |- (-. A e. V -> (Ord A <-> Ord suc A))
15	10, 14	pm2.61i 124	1 |- (Ord A <-> Ord suc A)

Syntax hints:  -. wn 2   <-> wb 144   = wceq 992   e. wcel 994  Vcvv 1857  Ord word 2974  Oncon0 2975  suc csuc 2977

This theorem is referenced by:  ordpwsuc 3172  sucelon 3174  ordsucss 3175  ordsucelsuc 3178  ordsucsssuc 3179  ordsucun 3180  0elsuc 3189  nlimsucg 3196  limsssuc 3204  php4 4663

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 998  ax-gen 999  ax-8 1000  ax-10 1002  ax-11 1003  ax-12 1004  ax-13 1005  ax-14 1006  ax-17 1007  ax-4 1009  ax-5o 1011  ax-6o 1014  ax-9o 1159  ax-10o 1177  ax-16 1247  ax-11o 1255  ax-ext 1500  ax-sep 2777  ax-pow 2818  ax-pr 2855  ax-un 3089

This theorem depends on definitions:  df-bi 145  df-or 222  df-an 223  df-3or 782  df-3an 783  df-ex 1017  df-sb 1209  df-eu 1421  df-mo 1422  df-clab 1506  df-cleq 1511  df-clel 1514  df-ne 1630  df-ral 1695  df-rex 1696  df-v 1858  df-dif 2101  df-un 2102  df-in 2103  df-ss 2105  df-nul 2333  df-pw 2459  df-sn 2470  df-pr 2471  df-tp 2473  df-op 2474  df-uni 2570  df-br 2693  df-opab 2741  df-tr 2755  df-eprel 2910  df-po 2918  df-so 2929  df-fr 2947  df-we 2962  df-ord 2978  df-on 2979  df-suc 2981

Copyright terms: Public domain