MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ordsuc Structured version   Unicode version

Theorem ordsuc 4797
Description: The successor of an ordinal class is ordinal. (Contributed by NM, 3-Apr-1995.)
Assertion
Ref Expression
ordsuc  |-  ( Ord 
A  <->  Ord  suc  A )

Proof of Theorem ordsuc
StepHypRef Expression
1 elong 4592 . . . 4  |-  ( A  e.  _V  ->  ( A  e.  On  <->  Ord  A ) )
2 suceloni 4796 . . . . 5  |-  ( A  e.  On  ->  suc  A  e.  On )
3 eloni 4594 . . . . 5  |-  ( suc 
A  e.  On  ->  Ord 
suc  A )
42, 3syl 16 . . . 4  |-  ( A  e.  On  ->  Ord  suc 
A )
51, 4syl6bir 222 . . 3  |-  ( A  e.  _V  ->  ( Ord  A  ->  Ord  suc  A
) )
6 sucidg 4662 . . . 4  |-  ( A  e.  _V  ->  A  e.  suc  A )
7 ordelord 4606 . . . . 5  |-  ( ( Ord  suc  A  /\  A  e.  suc  A )  ->  Ord  A )
87ex 425 . . . 4  |-  ( Ord 
suc  A  ->  ( A  e.  suc  A  ->  Ord  A ) )
96, 8syl5com 29 . . 3  |-  ( A  e.  _V  ->  ( Ord  suc  A  ->  Ord  A ) )
105, 9impbid 185 . 2  |-  ( A  e.  _V  ->  ( Ord  A  <->  Ord  suc  A )
)
11 sucprc 4659 . . . 4  |-  ( -.  A  e.  _V  ->  suc 
A  =  A )
1211eqcomd 2443 . . 3  |-  ( -.  A  e.  _V  ->  A  =  suc  A )
13 ordeq 4591 . . 3  |-  ( A  =  suc  A  -> 
( Ord  A  <->  Ord  suc  A
) )
1412, 13syl 16 . 2  |-  ( -.  A  e.  _V  ->  ( Ord  A  <->  Ord  suc  A
) )
1510, 14pm2.61i 159 1  |-  ( Ord 
A  <->  Ord  suc  A )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    <-> wb 178    = wceq 1653    e. wcel 1726   _Vcvv 2958   Ord word 4583   Oncon0 4584   suc csuc 4586
This theorem is referenced by:  ordpwsuc  4798  sucelon  4800  ordsucss  4801  onpsssuc  4802  ordsucelsuc  4805  ordsucsssuc  4806  ordsucuniel  4807  ordsucun  4808  onsucuni2  4817  0elsuc  4818  nlimsucg  4825  limsssuc  4833  php4  7297  cantnflt  7630  fin23lem26  8210  hsmexlem1  8311  onsuct0  26196
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1556  ax-5 1567  ax-17 1627  ax-9 1667  ax-8 1688  ax-13 1728  ax-14 1730  ax-6 1745  ax-7 1750  ax-11 1762  ax-12 1951  ax-ext 2419  ax-sep 4333  ax-nul 4341  ax-pr 4406  ax-un 4704
This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3or 938  df-3an 939  df-tru 1329  df-ex 1552  df-nf 1555  df-sb 1660  df-eu 2287  df-mo 2288  df-clab 2425  df-cleq 2431  df-clel 2434  df-nfc 2563  df-ne 2603  df-ral 2712  df-rex 2713  df-rab 2716  df-v 2960  df-sbc 3164  df-dif 3325  df-un 3327  df-in 3329  df-ss 3336  df-pss 3338  df-nul 3631  df-if 3742  df-sn 3822  df-pr 3823  df-tp 3824  df-op 3825  df-uni 4018  df-br 4216  df-opab 4270  df-tr 4306  df-eprel 4497  df-po 4506  df-so 4507  df-fr 4544  df-we 4546  df-ord 4587  df-on 4588  df-suc 4590
  Copyright terms: Public domain W3C validator