Theorem ordsuc 3028

Description: The successor of an ordinal class is ordinal.

Assertion

Ref	Expression
ordsuc	|- (Ord A <-> Ord suc A)

Proof of Theorem ordsuc

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elong 2919	. . . 4 |- (A e. V -> (A e. On <-> Ord A))
2		suceloni 3025	. . . . 5 |- (A e. On -> suc A e. On)
3		eloni 2921	. . . . 5 |- (suc A e. On -> Ord suc A)
4	2, 3	syl 10	. . . 4 |- (A e. On -> Ord suc A)
5	1, 4	syl6bir 215	. . 3 |- (A e. V -> (Ord A -> Ord suc A))
6		ordelord 2933	. . . . 5 |- ((Ord suc A /\ A e. suc A) -> Ord A)
7	6	ex 373	. . . 4 |- (Ord suc A -> (A e. suc A -> Ord A))
8		sucidg 3015	. . . 4 |- (A e. V -> A e. suc A)
9	7, 8	syl5com 52	. . 3 |- (A e. V -> (Ord suc A -> Ord A))
10	5, 9	impbid 514	. 2 |- (A e. V -> (Ord A <-> Ord suc A))
11		sucprc 3007	. . . 4 |- (-. A e. V -> suc A = A)
12	11	eqcomd 1456	. . 3 |- (-. A e. V -> A = suc A)
13		ordeq 2918	. . 3 |- (A = suc A -> (Ord A <-> Ord suc A))
14	12, 13	syl 10	. 2 |- (-. A e. V -> (Ord A <-> Ord suc A))
15	10, 14	pm2.61i 126	1 |- (Ord A <-> Ord suc A)

Syntax hints:  -. wn 2   <-> wb 146   = wceq 1099   e. wcel 1105  Vcvv 1786  Ord word 2910  Oncon0 2911  suc csuc 2913

This theorem is referenced by:  ordpwsuc 3029  sucelon 3031  ordsucss 3032  ordsucelsuc 3036  ordsucsssuc 3037  ordsucun 3045  0elsuc 3055  nlimsucg 3075  limsssuc 3084  php4 4448

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-4 951  ax-5 952  ax-6 953  ax-7 954  ax-gen 955  ax-8 1101  ax-9 1102  ax-10 1103  ax-12 1104  ax-13 1107  ax-14 1108  ax-11 1180  ax-17 1190  ax-16 1194  ax-11o 1202  ax-ext 1436  ax-sep 2671  ax-pow 2710  ax-pr 2747  ax-un 2830

This theorem depends on definitions:  df-bi 147  df-or 224  df-an 225  df-3or 773  df-3an 774  df-ex 957  df-sb 1155  df-eu 1359  df-mo 1360  df-clab 1441  df-cleq 1446  df-clel 1449  df-ne 1563  df-ral 1625  df-rex 1626  df-v 1787  df-dif 2020  df-un 2021  df-in 2022  df-ss 2024  df-nul 2252  df-pw 2373  df-sn 2383  df-pr 2384  df-tp 2386  df-op 2387  df-uni 2472  df-br 2588  df-opab 2635  df-tr 2649  df-eprel 2794  df-po 2804  df-so 2814  df-fr 2880  df-we 2897  df-ord 2914  df-on 2915  df-suc 2917

Copyright terms: Public domain