MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ordsuc Structured version   Unicode version

Theorem ordsuc 4786
Description: The successor of an ordinal class is ordinal. (Contributed by NM, 3-Apr-1995.)
Assertion
Ref Expression
ordsuc  |-  ( Ord 
A  <->  Ord  suc  A )

Proof of Theorem ordsuc
StepHypRef Expression
1 elong 4581 . . . 4  |-  ( A  e.  _V  ->  ( A  e.  On  <->  Ord  A ) )
2 suceloni 4785 . . . . 5  |-  ( A  e.  On  ->  suc  A  e.  On )
3 eloni 4583 . . . . 5  |-  ( suc 
A  e.  On  ->  Ord 
suc  A )
42, 3syl 16 . . . 4  |-  ( A  e.  On  ->  Ord  suc 
A )
51, 4syl6bir 221 . . 3  |-  ( A  e.  _V  ->  ( Ord  A  ->  Ord  suc  A
) )
6 sucidg 4651 . . . 4  |-  ( A  e.  _V  ->  A  e.  suc  A )
7 ordelord 4595 . . . . 5  |-  ( ( Ord  suc  A  /\  A  e.  suc  A )  ->  Ord  A )
87ex 424 . . . 4  |-  ( Ord 
suc  A  ->  ( A  e.  suc  A  ->  Ord  A ) )
96, 8syl5com 28 . . 3  |-  ( A  e.  _V  ->  ( Ord  suc  A  ->  Ord  A ) )
105, 9impbid 184 . 2  |-  ( A  e.  _V  ->  ( Ord  A  <->  Ord  suc  A )
)
11 sucprc 4648 . . . 4  |-  ( -.  A  e.  _V  ->  suc 
A  =  A )
1211eqcomd 2440 . . 3  |-  ( -.  A  e.  _V  ->  A  =  suc  A )
13 ordeq 4580 . . 3  |-  ( A  =  suc  A  -> 
( Ord  A  <->  Ord  suc  A
) )
1412, 13syl 16 . 2  |-  ( -.  A  e.  _V  ->  ( Ord  A  <->  Ord  suc  A
) )
1510, 14pm2.61i 158 1  |-  ( Ord 
A  <->  Ord  suc  A )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    <-> wb 177    = wceq 1652    e. wcel 1725   _Vcvv 2948   Ord word 4572   Oncon0 4573   suc csuc 4575
This theorem is referenced by:  ordpwsuc  4787  sucelon  4789  ordsucss  4790  onpsssuc  4791  ordsucelsuc  4794  ordsucsssuc  4795  ordsucuniel  4796  ordsucun  4797  onsucuni2  4806  0elsuc  4807  nlimsucg  4814  limsssuc  4822  php4  7286  cantnflt  7619  fin23lem26  8197  hsmexlem1  8298  onsuct0  26183
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1555  ax-5 1566  ax-17 1626  ax-9 1666  ax-8 1687  ax-13 1727  ax-14 1729  ax-6 1744  ax-7 1749  ax-11 1761  ax-12 1950  ax-ext 2416  ax-sep 4322  ax-nul 4330  ax-pr 4395  ax-un 4693
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1328  df-ex 1551  df-nf 1554  df-sb 1659  df-eu 2284  df-mo 2285  df-clab 2422  df-cleq 2428  df-clel 2431  df-nfc 2560  df-ne 2600  df-ral 2702  df-rex 2703  df-rab 2706  df-v 2950  df-sbc 3154  df-dif 3315  df-un 3317  df-in 3319  df-ss 3326  df-pss 3328  df-nul 3621  df-if 3732  df-sn 3812  df-pr 3813  df-tp 3814  df-op 3815  df-uni 4008  df-br 4205  df-opab 4259  df-tr 4295  df-eprel 4486  df-po 4495  df-so 4496  df-fr 4533  df-we 4535  df-ord 4576  df-on 4577  df-suc 4579
  Copyright terms: Public domain W3C validator