Theorem ordsucelsuc 3036

Description: Membership is inherited by successors. Generalization of Exercise 9 of [TakeutiZaring] p. 42.

Assertion

Ref	Expression
ordsucelsuc	|- (Ord B -> (A e. B <-> suc A e. suc B))

Proof of Theorem ordsucelsuc

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ordsseleq 2939	. . . . . . . . . . . 12 |- ((Ord suc A /\ Ord B) -> (suc A (_ B <-> (suc A e. B \/ suc A = B)))
2		ordsuc 3028	. . . . . . . . . . . 12 |- (Ord A <-> Ord suc A)
3	1, 2	sylanb 449	. . . . . . . . . . 11 |- ((Ord A /\ Ord B) -> (suc A (_ B <-> (suc A e. B \/ suc A = B)))
4	3	adantl 388	. . . . . . . . . 10 |- ((A e. V /\ (Ord A /\ Ord B)) -> (suc A (_ B <-> (suc A e. B \/ suc A = B)))
5		ordsucss 3032	. . . . . . . . . . . 12 |- (Ord B -> (A e. B -> suc A (_ B))
6	5	ad2antll 407	. . . . . . . . . . 11 |- ((A e. V /\ (Ord A /\ Ord B)) -> (A e. B -> suc A (_ B))
7		sucssel 3033	. . . . . . . . . . . 12 |- (A e. V -> (suc A (_ B -> A e. B))
8	7	adantr 389	. . . . . . . . . . 11 |- ((A e. V /\ (Ord A /\ Ord B)) -> (suc A (_ B -> A e. B))
9	6, 8	impbid 514	. . . . . . . . . 10 |- ((A e. V /\ (Ord A /\ Ord B)) -> (A e. B <-> suc A (_ B))
10		sucexb 3011	. . . . . . . . . . . 12 |- (A e. V <-> suc A e. V)
11		elsucg 2999	. . . . . . . . . . . 12 |- (suc A e. V -> (suc A e. suc B <-> (suc A e. B \/ suc A = B)))
12	10, 11	sylbi 199	. . . . . . . . . . 11 |- (A e. V -> (suc A e. suc B <-> (suc A e. B \/ suc A = B)))
13	12	adantr 389	. . . . . . . . . 10 |- ((A e. V /\ (Ord A /\ Ord B)) -> (suc A e. suc B <-> (suc A e. B \/ suc A = B)))
14	4, 9, 13	3bitr4d 548	. . . . . . . . 9 |- ((A e. V /\ (Ord A /\ Ord B)) -> (A e. B <-> suc A e. suc B))
15	14	ex 373	. . . . . . . 8 |- (A e. V -> ((Ord A /\ Ord B) -> (A e. B <-> suc A e. suc B)))
16		elisset 1792	. . . . . . . . . 10 |- (A e. B -> A e. V)
17		elisset 1792	. . . . . . . . . . 11 |- (suc A e. suc B -> suc A e. V)
18	17, 10	sylibr 200	. . . . . . . . . 10 |- (suc A e. suc B -> A e. V)
19	16, 18	pm5.21ni 675	. . . . . . . . 9 |- (-. A e. V -> (A e. B <-> suc A e. suc B))
20	19	a1d 12	. . . . . . . 8 |- (-. A e. V -> ((Ord A /\ Ord B) -> (A e. B <-> suc A e. suc B)))
21	15, 20	pm2.61i 126	. . . . . . 7 |- ((Ord A /\ Ord B) -> (A e. B <-> suc A e. suc B))
22	21	biimpd 153	. . . . . 6 |- ((Ord A /\ Ord B) -> (A e. B -> suc A e. suc B))
23		ordelord 2933	. . . . . 6 |- ((Ord B /\ A e. B) -> Ord A)
24	22, 23	sylan 448	. . . . 5 |- (((Ord B /\ A e. B) /\ Ord B) -> (A e. B -> suc A e. suc B))
25	24	exp31 376	. . . 4 |- (Ord B -> (A e. B -> (Ord B -> (A e. B -> suc A e. suc B))))
26	25	pm2.43a 66	. . 3 |- (Ord B -> (A e. B -> (A e. B -> suc A e. suc B)))
27	26	pm2.43d 65	. 2 |- (Ord B -> (A e. B -> suc A e. suc B))
28	21	biimprd 154	. . . . . 6 |- ((Ord A /\ Ord B) -> (suc A e. suc B -> A e. B))
29		ordelord 2933	. . . . . . . 8 |- ((Ord suc B /\ suc A e. suc B) -> Ord suc A)
30	29, 2	sylibr 200	. . . . . . 7 |- ((Ord suc B /\ suc A e. suc B) -> Ord A)
31		ordsuc 3028	. . . . . . 7 |- (Ord B <-> Ord suc B)
32	30, 31	sylanb 449	. . . . . 6 |- ((Ord B /\ suc A e. suc B) -> Ord A)
33	28, 32	sylan 448	. . . . 5 |- (((Ord B /\ suc A e. suc B) /\ Ord B) -> (suc A e. suc B -> A e. B))
34	33	exp31 376	. . . 4 |- (Ord B -> (suc A e. suc B -> (Ord B -> (suc A e. suc B -> A e. B))))
35	34	pm2.43a 66	. . 3 |- (Ord B -> (suc A e. suc B -> (suc A e. suc B -> A e. B)))
36	35	pm2.43d 65	. 2 |- (Ord B -> (suc A e. suc B -> A e. B))
37	27, 36	impbid 514	1 |- (Ord B -> (A e. B <-> suc A e. suc B))

Syntax hints:  -. wn 2   -> wi 3   <-> wb 146   \/ wo 222   /\ wa 223   = wceq 1099   e. wcel 1105  Vcvv 1786   (_ wss 2018  Ord word 2910  suc csuc 2913

This theorem is referenced by:  ordsucsssuc 3037  oalimcl 4132  omlimcl 4147  pssnn 4465  r1pw 4610  rankelpr 4632  rankelop 4633  rankxplim3 4638

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-4 951  ax-5 952  ax-6 953  ax-7 954  ax-gen 955  ax-8 1101  ax-9 1102  ax-10 1103  ax-12 1104  ax-13 1107  ax-14 1108  ax-11 1180  ax-17 1190  ax-16 1194  ax-11o 1202  ax-ext 1436  ax-sep 2671  ax-pow 2710  ax-pr 2747  ax-un 2830

This theorem depends on definitions:  df-bi 147  df-or 224  df-an 225  df-3or 773  df-3an 774  df-ex 957  df-sb 1155  df-eu 1359  df-mo 1360  df-clab 1441  df-cleq 1446  df-clel 1449  df-ne 1563  df-ral 1625  df-rex 1626  df-v 1787  df-dif 2020  df-un 2021  df-in 2022  df-ss 2024  df-nul 2252  df-pw 2373  df-sn 2383  df-pr 2384  df-tp 2386  df-op 2387  df-uni 2472  df-br 2588  df-opab 2635  df-tr 2649  df-eprel 2794  df-po 2804  df-so 2814  df-fr 2880  df-we 2897  df-ord 2914  df-on 2915  df-suc 2917

Copyright terms: Public domain