Theorem ordsucss 3059

Description: The successor of an element of an ordinal class is a subset of it.

Assertion

Ref	Expression
ordsucss	|- (Ord B -> (A e. B -> suc A (_ B))

Proof of Theorem ordsucss

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ordnbtwn 3053	. . . . . . . 8 |- (Ord A -> -. (A e. B /\ B e. suc A))
2		imnan 242	. . . . . . . 8 |- ((A e. B -> -. B e. suc A) <-> -. (A e. B /\ B e. suc A))
3	1, 2	sylibr 200	. . . . . . 7 |- (Ord A -> (A e. B -> -. B e. suc A))
4	3	adantr 389	. . . . . 6 |- ((Ord A /\ Ord B) -> (A e. B -> -. B e. suc A))
5		ordtri1 2970	. . . . . . 7 |- ((Ord suc A /\ Ord B) -> (suc A (_ B <-> -. B e. suc A))
6		ordsuc 3055	. . . . . . 7 |- (Ord A <-> Ord suc A)
7	5, 6	sylanb 449	. . . . . 6 |- ((Ord A /\ Ord B) -> (suc A (_ B <-> -. B e. suc A))
8	4, 7	sylibrd 204	. . . . 5 |- ((Ord A /\ Ord B) -> (A e. B -> suc A (_ B))
9		ordelord 2960	. . . . 5 |- ((Ord B /\ A e. B) -> Ord A)
10	8, 9	sylan 448	. . . 4 |- (((Ord B /\ A e. B) /\ Ord B) -> (A e. B -> suc A (_ B))
11	10	exp31 376	. . 3 |- (Ord B -> (A e. B -> (Ord B -> (A e. B -> suc A (_ B))))
12	11	pm2.43b 67	. 2 |- (A e. B -> (Ord B -> (A e. B -> suc A (_ B)))
13	12	pm2.43b 67	1 |- (Ord B -> (A e. B -> suc A (_ B))

Syntax hints:  -. wn 2   -> wi 3   <-> wb 146   /\ wa 223   e. wcel 955   (_ wss 2037  Ord word 2937  suc csuc 2940

This theorem is referenced by:  ordelsuc 3061  ordsucelsuc 3063  ordunel 3074  orduniorsuc 3077  tfindsg2 3153  oaordi 4164  oawordeulem 4172  oeworde 4204  inf3lem5 4589  r1ord 4627  r1val1 4630  rankval3 4653  indpi 5006

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 959  ax-gen 960  ax-8 961  ax-10 963  ax-11 964  ax-12 965  ax-13 966  ax-14 967  ax-17 968  ax-4 970  ax-5o 972  ax-6o 975  ax-9o 1119  ax-10o 1136  ax-16 1206  ax-11o 1213  ax-ext 1452  ax-sep 2693  ax-pow 2732  ax-pr 2769  ax-un 2857

This theorem depends on definitions:  df-bi 147  df-or 224  df-an 225  df-3or 774  df-3an 775  df-ex 978  df-sb 1168  df-eu 1375  df-mo 1376  df-clab 1457  df-cleq 1462  df-clel 1465  df-ne 1579  df-ral 1641  df-rex 1642  df-v 1803  df-dif 2039  df-un 2040  df-in 2041  df-ss 2043  df-nul 2271  df-pw 2392  df-sn 2402  df-pr 2403  df-tp 2405  df-op 2406  df-uni 2494  df-br 2610  df-opab 2657  df-tr 2671  df-eprel 2821  df-po 2831  df-so 2841  df-fr 2907  df-we 2924  df-ord 2941  df-on 2942  df-suc 2944

Copyright terms: Public domain