Theorem ordsucsssuc 3064

Description: The subclass relationship between two ordinal classes is inherited by their successors.

Assertion

Ref	Expression
ordsucsssuc	|- ((Ord A /\ Ord B) -> (A (_ B <-> suc A (_ suc B))

Proof of Theorem ordsucsssuc

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ordsucelsuc 3063	. . . 4 |- (Ord A -> (B e. A <-> suc B e. suc A))
2	1	negbid 609	. . 3 |- (Ord A -> (-. B e. A <-> -. suc B e. suc A))
3	2	adantr 389	. 2 |- ((Ord A /\ Ord B) -> (-. B e. A <-> -. suc B e. suc A))
4		ordtri1 2970	. 2 |- ((Ord A /\ Ord B) -> (A (_ B <-> -. B e. A))
5		ordtri1 2970	. . 3 |- ((Ord suc A /\ Ord suc B) -> (suc A (_ suc B <-> -. suc B e. suc A))
6		ordsuc 3055	. . 3 |- (Ord A <-> Ord suc A)
7		ordsuc 3055	. . 3 |- (Ord B <-> Ord suc B)
8	5, 6, 7	syl2anb 455	. 2 |- ((Ord A /\ Ord B) -> (suc A (_ suc B <-> -. suc B e. suc A))
9	3, 4, 8	3bitr4d 548	1 |- ((Ord A /\ Ord B) -> (A (_ B <-> suc A (_ suc B))

Syntax hints:  -. wn 2   -> wi 3   <-> wb 146   /\ wa 223   e. wcel 955   (_ wss 2037  Ord word 2937  suc csuc 2940

This theorem is referenced by:  oawordri 4168  oeworde 4204  rankel 4652  bndrank 4654

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 959  ax-gen 960  ax-8 961  ax-10 963  ax-11 964  ax-12 965  ax-13 966  ax-14 967  ax-17 968  ax-4 970  ax-5o 972  ax-6o 975  ax-9o 1119  ax-10o 1136  ax-16 1206  ax-11o 1213  ax-ext 1452  ax-sep 2693  ax-pow 2732  ax-pr 2769  ax-un 2857

This theorem depends on definitions:  df-bi 147  df-or 224  df-an 225  df-3or 774  df-3an 775  df-ex 978  df-sb 1168  df-eu 1375  df-mo 1376  df-clab 1457  df-cleq 1462  df-clel 1465  df-ne 1579  df-ral 1641  df-rex 1642  df-v 1803  df-dif 2039  df-un 2040  df-in 2041  df-ss 2043  df-nul 2271  df-pw 2392  df-sn 2402  df-pr 2403  df-tp 2405  df-op 2406  df-uni 2494  df-br 2610  df-opab 2657  df-tr 2671  df-eprel 2821  df-po 2831  df-so 2841  df-fr 2907  df-we 2924  df-ord 2941  df-on 2942  df-suc 2944

Copyright terms: Public domain