Theorem ordsucun 3072

Description: The successor of the maximum (i.e. union) of two ordinals is the maximum of their successors.

Assertion

Ref	Expression
ordsucun	|- ((Ord A /\ Ord B) -> suc (A u. B) = (suc A u. suc B))

Proof of Theorem ordsucun

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ordssun 3069	. . . . . . . 8 |- ((Ord A /\ Ord B) -> (x (_ (A u. B) <-> (x (_ A \/ x (_ B)))
2	1	adantl 388	. . . . . . 7 |- ((x e. On /\ (Ord A /\ Ord B)) -> (x (_ (A u. B) <-> (x (_ A \/ x (_ B)))
3		ordsssuc 3047	. . . . . . . 8 |- ((x e. On /\ Ord (A u. B)) -> (x (_ (A u. B) <-> x e. suc (A u. B)))
4		ordun 3071	. . . . . . . 8 |- ((Ord A /\ Ord B) -> Ord (A u. B))
5	3, 4	sylan2 451	. . . . . . 7 |- ((x e. On /\ (Ord A /\ Ord B)) -> (x (_ (A u. B) <-> x e. suc (A u. B)))
6		ordsssuc 3047	. . . . . . . . 9 |- ((x e. On /\ Ord A) -> (x (_ A <-> x e. suc A))
7	6	adantrr 395	. . . . . . . 8 |- ((x e. On /\ (Ord A /\ Ord B)) -> (x (_ A <-> x e. suc A))
8		ordsssuc 3047	. . . . . . . . 9 |- ((x e. On /\ Ord B) -> (x (_ B <-> x e. suc B))
9	8	adantrl 394	. . . . . . . 8 |- ((x e. On /\ (Ord A /\ Ord B)) -> (x (_ B <-> x e. suc B))
10	7, 9	orbi12d 625	. . . . . . 7 |- ((x e. On /\ (Ord A /\ Ord B)) -> ((x (_ A \/ x (_ B) <-> (x e. suc A \/ x e. suc B)))
11	2, 5, 10	3bitr3d 546	. . . . . 6 |- ((x e. On /\ (Ord A /\ Ord B)) -> (x e. suc (A u. B) <-> (x e. suc A \/ x e. suc B)))
12		elun 2163	. . . . . 6 |- (x e. (suc A u. suc B) <-> (x e. suc A \/ x e. suc B))
13	11, 12	syl6bbr 536	. . . . 5 |- ((x e. On /\ (Ord A /\ Ord B)) -> (x e. suc (A u. B) <-> x e. (suc A u. suc B)))
14	13	expcom 374	. . . 4 |- ((Ord A /\ Ord B) -> (x e. On -> (x e. suc (A u. B) <-> x e. (suc A u. suc B))))
15	14	pm5.32d 645	. . 3 |- ((Ord A /\ Ord B) -> ((x e. On /\ x e. suc (A u. B)) <-> (x e. On /\ x e. (suc A u. suc B))))
16		ordsuc 3055	. . . . . 6 |- (Ord (A u. B) <-> Ord suc (A u. B))
17		ordelon 2961	. . . . . . 7 |- ((Ord suc (A u. B) /\ x e. suc (A u. B)) -> x e. On)
18	17	ex 373	. . . . . 6 |- (Ord suc (A u. B) -> (x e. suc (A u. B) -> x e. On))
19	16, 18	sylbi 199	. . . . 5 |- (Ord (A u. B) -> (x e. suc (A u. B) -> x e. On))
20	4, 19	syl 10	. . . 4 |- ((Ord A /\ Ord B) -> (x e. suc (A u. B) -> x e. On))
21	20	pm4.71rd 637	. . 3 |- ((Ord A /\ Ord B) -> (x e. suc (A u. B) <-> (x e. On /\ x e. suc (A u. B))))
22		ordun 3071	. . . . . 6 |- ((Ord suc A /\ Ord suc B) -> Ord (suc A u. suc B))
23		ordelon 2961	. . . . . . 7 |- ((Ord (suc A u. suc B) /\ x e. (suc A u. suc B)) -> x e. On)
24	23	ex 373	. . . . . 6 |- (Ord (suc A u. suc B) -> (x e. (suc A u. suc B) -> x e. On))
25	22, 24	syl 10	. . . . 5 |- ((Ord suc A /\ Ord suc B) -> (x e. (suc A u. suc B) -> x e. On))
26		ordsuc 3055	. . . . 5 |- (Ord A <-> Ord suc A)
27		ordsuc 3055	. . . . 5 |- (Ord B <-> Ord suc B)
28	25, 26, 27	syl2anb 455	. . . 4 |- ((Ord A /\ Ord B) -> (x e. (suc A u. suc B) -> x e. On))
29	28	pm4.71rd 637	. . 3 |- ((Ord A /\ Ord B) -> (x e. (suc A u. suc B) <-> (x e. On /\ x e. (suc A u. suc B))))
30	15, 21, 29	3bitr4d 548	. 2 |- ((Ord A /\ Ord B) -> (x e. suc (A u. B) <-> x e. (suc A u. suc B)))
31	30	eqrdv 1466	1 |- ((Ord A /\ Ord B) -> suc (A u. B) = (suc A u. suc B))

Syntax hints:   -> wi 3   <-> wb 146   \/ wo 222   /\ wa 223   = wceq 953   e. wcel 955   u. cun 2035   (_ wss 2037  Ord word 2937  Oncon0 2938  suc csuc 2940

This theorem is referenced by:  ordunel 3074  rankpr 4664

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 959  ax-gen 960  ax-8 961  ax-10 963  ax-11 964  ax-12 965  ax-13 966  ax-14 967  ax-17 968  ax-4 970  ax-5o 972  ax-6o 975  ax-9o 1119  ax-10o 1136  ax-16 1206  ax-11o 1213  ax-ext 1452  ax-sep 2693  ax-pow 2732  ax-pr 2769  ax-un 2857

This theorem depends on definitions:  df-bi 147  df-or 224  df-an 225  df-3or 774  df-3an 775  df-ex 978  df-sb 1168  df-eu 1375  df-mo 1376  df-clab 1457  df-cleq 1462  df-clel 1465  df-ne 1579  df-ral 1641  df-rex 1642  df-v 1803  df-dif 2039  df-un 2040  df-in 2041  df-ss 2043  df-nul 2271  df-pw 2392  df-sn 2402  df-pr 2403  df-tp 2405  df-op 2406  df-uni 2494  df-br 2610  df-opab 2657  df-tr 2671  df-eprel 2821  df-po 2831  df-so 2841  df-fr 2907  df-we 2924  df-ord 2941  df-on 2942  df-suc 2944

Copyright terms: Public domain