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Theorem ordtbaslem 16913
Description: Lemma for ordtbas 16917. In a total order, unbounded-above intervals are closed under intersection. (Contributed by Mario Carneiro, 3-Sep-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
ordtval.1  |-  X  =  dom  R
ordtval.2  |-  A  =  ran  (  x  e.  X  |->  { y  e.  X  |  -.  y R x } )
Assertion
Ref Expression
ordtbaslem  |-  ( R  e.  TosetRel  ->  ( fi `  A )  =  A )
Distinct variable groups:    x, y, R    x, X, y
Dummy variables  a 
b  w  z are mutually distinct and distinct from all other variables.
Allowed substitution hints:    A( x, y)

Proof of Theorem ordtbaslem
StepHypRef Expression
1 3anrot 941 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( y  e.  X  /\  a  e.  X  /\  b  e.  X )  <->  ( a  e.  X  /\  b  e.  X  /\  y  e.  X )
)
2 ordtval.1 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  X  =  dom  R
32tsrlemax 14324 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( R  e.  TosetRel  /\  (
y  e.  X  /\  a  e.  X  /\  b  e.  X )
)  ->  ( y R if ( a R b ,  b ,  a )  <->  ( y R a  \/  y R b ) ) )
41, 3sylan2br 464 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( R  e.  TosetRel  /\  (
a  e.  X  /\  b  e.  X  /\  y  e.  X )
)  ->  ( y R if ( a R b ,  b ,  a )  <->  ( y R a  \/  y R b ) ) )
543exp2 1171 . . . . . . . . . . 11  |-  ( R  e.  TosetRel  ->  ( a  e.  X  ->  ( b  e.  X  ->  ( y  e.  X  ->  (
y R if ( a R b ,  b ,  a )  <-> 
( y R a  \/  y R b ) ) ) ) ) )
65imp42 579 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( R  e.  TosetRel  /\  ( a  e.  X  /\  b  e.  X
) )  /\  y  e.  X )  ->  (
y R if ( a R b ,  b ,  a )  <-> 
( y R a  \/  y R b ) ) )
76notbid 287 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( R  e.  TosetRel  /\  ( a  e.  X  /\  b  e.  X
) )  /\  y  e.  X )  ->  ( -.  y R if ( a R b ,  b ,  a )  <->  -.  ( y R a  \/  y R b ) ) )
8 ioran 478 . . . . . . . . 9  |-  ( -.  ( y R a  \/  y R b )  <->  ( -.  y R a  /\  -.  y R b ) )
97, 8syl6bb 254 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( R  e.  TosetRel  /\  ( a  e.  X  /\  b  e.  X
) )  /\  y  e.  X )  ->  ( -.  y R if ( a R b ,  b ,  a )  <-> 
( -.  y R a  /\  -.  y R b ) ) )
109rabbidva 2781 . . . . . . 7  |-  ( ( R  e.  TosetRel  /\  (
a  e.  X  /\  b  e.  X )
)  ->  { y  e.  X  |  -.  y R if ( a R b ,  b ,  a ) }  =  { y  e.  X  |  ( -.  y R a  /\  -.  y R b ) } )
11 ifcl 3603 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( b  e.  X  /\  a  e.  X )  ->  if ( a R b ,  b ,  a )  e.  X
)
1211ancoms 441 . . . . . . . . 9  |-  ( ( a  e.  X  /\  b  e.  X )  ->  if ( a R b ,  b ,  a )  e.  X
)
1312adantl 454 . . . . . . . 8  |-  ( ( R  e.  TosetRel  /\  (
a  e.  X  /\  b  e.  X )
)  ->  if (
a R b ,  b ,  a )  e.  X )
14 dmexg 4939 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( R  e.  TosetRel  ->  dom  R  e.  _V )
152, 14syl5eqel 2369 . . . . . . . . . . 11  |-  ( R  e.  TosetRel  ->  X  e.  _V )
1615adantr 453 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( R  e.  TosetRel  /\  (
a  e.  X  /\  b  e.  X )
)  ->  X  e.  _V )
17 rabexg 4166 . . . . . . . . . 10  |-  ( X  e.  _V  ->  { y  e.  X  |  ( -.  y R a  /\  -.  y R b ) }  e.  _V )
1816, 17syl 17 . . . . . . . . 9  |-  ( ( R  e.  TosetRel  /\  (
a  e.  X  /\  b  e.  X )
)  ->  { y  e.  X  |  ( -.  y R a  /\  -.  y R b ) }  e.  _V )
1910, 18eqeltrd 2359 . . . . . . . 8  |-  ( ( R  e.  TosetRel  /\  (
a  e.  X  /\  b  e.  X )
)  ->  { y  e.  X  |  -.  y R if ( a R b ,  b ,  a ) }  e.  _V )
20 eqid 2285 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  e.  X  |->  { y  e.  X  |  -.  y R x } )  =  ( x  e.  X  |->  { y  e.  X  |  -.  y R x } )
21 breq2 4029 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x  =  if ( a R b ,  b ,  a )  -> 
( y R x  <-> 
y R if ( a R b ,  b ,  a ) ) )
2221notbid 287 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  =  if ( a R b ,  b ,  a )  -> 
( -.  y R x  <->  -.  y R if ( a R b ,  b ,  a ) ) )
2322rabbidv 2782 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  =  if ( a R b ,  b ,  a )  ->  { y  e.  X  |  -.  y R x }  =  { y  e.  X  |  -.  y R if ( a R b ,  b ,  a ) } )
2420, 23elrnmpt1s 4927 . . . . . . . . 9  |-  ( ( if ( a R b ,  b ,  a )  e.  X  /\  { y  e.  X  |  -.  y R if ( a R b ,  b ,  a ) }  e.  _V )  ->  { y  e.  X  |  -.  y R if ( a R b ,  b ,  a ) }  e.  ran  (  x  e.  X  |->  { y  e.  X  |  -.  y R x } ) )
25 ordtval.2 . . . . . . . . 9  |-  A  =  ran  (  x  e.  X  |->  { y  e.  X  |  -.  y R x } )
2624, 25syl6eleqr 2376 . . . . . . . 8  |-  ( ( if ( a R b ,  b ,  a )  e.  X  /\  { y  e.  X  |  -.  y R if ( a R b ,  b ,  a ) }  e.  _V )  ->  { y  e.  X  |  -.  y R if ( a R b ,  b ,  a ) }  e.  A )
2713, 19, 26syl2anc 644 . . . . . . 7  |-  ( ( R  e.  TosetRel  /\  (
a  e.  X  /\  b  e.  X )
)  ->  { y  e.  X  |  -.  y R if ( a R b ,  b ,  a ) }  e.  A )
2810, 27eqeltrrd 2360 . . . . . 6  |-  ( ( R  e.  TosetRel  /\  (
a  e.  X  /\  b  e.  X )
)  ->  { y  e.  X  |  ( -.  y R a  /\  -.  y R b ) }  e.  A )
2928ralrimivva 2637 . . . . 5  |-  ( R  e.  TosetRel  ->  A. a  e.  X  A. b  e.  X  { y  e.  X  |  ( -.  y R a  /\  -.  y R b ) }  e.  A )
30 rabexg 4166 . . . . . . . 8  |-  ( X  e.  _V  ->  { y  e.  X  |  -.  y R a }  e.  _V )
3115, 30syl 17 . . . . . . 7  |-  ( R  e.  TosetRel  ->  { y  e.  X  |  -.  y R a }  e.  _V )
3231ralrimivw 2629 . . . . . 6  |-  ( R  e.  TosetRel  ->  A. a  e.  X  { y  e.  X  |  -.  y R a }  e.  _V )
33 breq2 4029 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  =  a  ->  (
y R x  <->  y R
a ) )
3433notbid 287 . . . . . . . . 9  |-  ( x  =  a  ->  ( -.  y R x  <->  -.  y R a ) )
3534rabbidv 2782 . . . . . . . 8  |-  ( x  =  a  ->  { y  e.  X  |  -.  y R x }  =  { y  e.  X  |  -.  y R a } )
3635cbvmptv 4113 . . . . . . 7  |-  ( x  e.  X  |->  { y  e.  X  |  -.  y R x } )  =  ( a  e.  X  |->  { y  e.  X  |  -.  y R a } )
37 ineq1 3365 . . . . . . . . . 10  |-  ( z  =  { y  e.  X  |  -.  y R a }  ->  ( z  i^i  { y  e.  X  |  -.  y R b } )  =  ( { y  e.  X  |  -.  y R a }  i^i  { y  e.  X  |  -.  y R b } ) )
38 inrab 3442 . . . . . . . . . 10  |-  ( { y  e.  X  |  -.  y R a }  i^i  { y  e.  X  |  -.  y R b } )  =  { y  e.  X  |  ( -.  y R a  /\  -.  y R b ) }
3937, 38syl6eq 2333 . . . . . . . . 9  |-  ( z  =  { y  e.  X  |  -.  y R a }  ->  ( z  i^i  { y  e.  X  |  -.  y R b } )  =  { y  e.  X  |  ( -.  y R a  /\  -.  y R b ) } )
4039eleq1d 2351 . . . . . . . 8  |-  ( z  =  { y  e.  X  |  -.  y R a }  ->  ( ( z  i^i  {
y  e.  X  |  -.  y R b } )  e.  A  <->  { y  e.  X  |  ( -.  y R a  /\  -.  y R b ) }  e.  A ) )
4140ralbidv 2565 . . . . . . 7  |-  ( z  =  { y  e.  X  |  -.  y R a }  ->  ( A. b  e.  X  ( z  i^i  {
y  e.  X  |  -.  y R b } )  e.  A  <->  A. b  e.  X  { y  e.  X  |  ( -.  y R a  /\  -.  y R b ) }  e.  A ) )
4236, 41ralrnmpt 5631 . . . . . 6  |-  ( A. a  e.  X  {
y  e.  X  |  -.  y R a }  e.  _V  ->  ( A. z  e.  ran  (  x  e.  X  |->  { y  e.  X  |  -.  y R x } ) A. b  e.  X  ( z  i^i  { y  e.  X  |  -.  y R b } )  e.  A  <->  A. a  e.  X  A. b  e.  X  {
y  e.  X  | 
( -.  y R a  /\  -.  y R b ) }  e.  A ) )
4332, 42syl 17 . . . . 5  |-  ( R  e.  TosetRel  ->  ( A. z  e.  ran  (  x  e.  X  |->  { y  e.  X  |  -.  y R x } ) A. b  e.  X  ( z  i^i  {
y  e.  X  |  -.  y R b } )  e.  A  <->  A. a  e.  X  A. b  e.  X  { y  e.  X  |  ( -.  y R a  /\  -.  y R b ) }  e.  A ) )
4429, 43mpbird 225 . . . 4  |-  ( R  e.  TosetRel  ->  A. z  e.  ran  (  x  e.  X  |->  { y  e.  X  |  -.  y R x } ) A. b  e.  X  ( z  i^i  { y  e.  X  |  -.  y R b } )  e.  A
)
45 rabexg 4166 . . . . . . . 8  |-  ( X  e.  _V  ->  { y  e.  X  |  -.  y R b }  e.  _V )
4615, 45syl 17 . . . . . . 7  |-  ( R  e.  TosetRel  ->  { y  e.  X  |  -.  y R b }  e.  _V )
4746ralrimivw 2629 . . . . . 6  |-  ( R  e.  TosetRel  ->  A. b  e.  X  { y  e.  X  |  -.  y R b }  e.  _V )
48 breq2 4029 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  =  b  ->  (
y R x  <->  y R
b ) )
4948notbid 287 . . . . . . . . 9  |-  ( x  =  b  ->  ( -.  y R x  <->  -.  y R b ) )
5049rabbidv 2782 . . . . . . . 8  |-  ( x  =  b  ->  { y  e.  X  |  -.  y R x }  =  { y  e.  X  |  -.  y R b } )
5150cbvmptv 4113 . . . . . . 7  |-  ( x  e.  X  |->  { y  e.  X  |  -.  y R x } )  =  ( b  e.  X  |->  { y  e.  X  |  -.  y R b } )
52 ineq2 3366 . . . . . . . 8  |-  ( w  =  { y  e.  X  |  -.  y R b }  ->  ( z  i^i  w )  =  ( z  i^i 
{ y  e.  X  |  -.  y R b } ) )
5352eleq1d 2351 . . . . . . 7  |-  ( w  =  { y  e.  X  |  -.  y R b }  ->  ( ( z  i^i  w
)  e.  A  <->  ( z  i^i  { y  e.  X  |  -.  y R b } )  e.  A
) )
5451, 53ralrnmpt 5631 . . . . . 6  |-  ( A. b  e.  X  {
y  e.  X  |  -.  y R b }  e.  _V  ->  ( A. w  e.  ran  (  x  e.  X  |->  { y  e.  X  |  -.  y R x } ) ( z  i^i  w )  e.  A  <->  A. b  e.  X  ( z  i^i  {
y  e.  X  |  -.  y R b } )  e.  A ) )
5547, 54syl 17 . . . . 5  |-  ( R  e.  TosetRel  ->  ( A. w  e.  ran  (  x  e.  X  |->  { y  e.  X  |  -.  y R x } ) ( z  i^i  w
)  e.  A  <->  A. b  e.  X  ( z  i^i  { y  e.  X  |  -.  y R b } )  e.  A
) )
5655ralbidv 2565 . . . 4  |-  ( R  e.  TosetRel  ->  ( A. z  e.  ran  (  x  e.  X  |->  { y  e.  X  |  -.  y R x } ) A. w  e.  ran  (  x  e.  X  |->  { y  e.  X  |  -.  y R x } ) ( z  i^i  w )  e.  A  <->  A. z  e.  ran  (  x  e.  X  |->  { y  e.  X  |  -.  y R x } ) A. b  e.  X  ( z  i^i  { y  e.  X  |  -.  y R b } )  e.  A
) )
5744, 56mpbird 225 . . 3  |-  ( R  e.  TosetRel  ->  A. z  e.  ran  (  x  e.  X  |->  { y  e.  X  |  -.  y R x } ) A. w  e.  ran  (  x  e.  X  |->  { y  e.  X  |  -.  y R x } ) ( z  i^i  w
)  e.  A )
5825raleqi 2742 . . . 4  |-  ( A. z  e.  A  A. w  e.  A  (
z  i^i  w )  e.  A  <->  A. z  e.  ran  (  x  e.  X  |->  { y  e.  X  |  -.  y R x } ) A. w  e.  A  ( z  i^i  w )  e.  A
)
5925raleqi 2742 . . . . 5  |-  ( A. w  e.  A  (
z  i^i  w )  e.  A  <->  A. w  e.  ran  (  x  e.  X  |->  { y  e.  X  |  -.  y R x } ) ( z  i^i  w )  e.  A )
6059ralbii 2569 . . . 4  |-  ( A. z  e.  ran  (  x  e.  X  |->  { y  e.  X  |  -.  y R x } ) A. w  e.  A  ( z  i^i  w
)  e.  A  <->  A. z  e.  ran  (  x  e.  X  |->  { y  e.  X  |  -.  y R x } ) A. w  e.  ran  (  x  e.  X  |->  { y  e.  X  |  -.  y R x } ) ( z  i^i  w )  e.  A )
6158, 60bitri 242 . . 3  |-  ( A. z  e.  A  A. w  e.  A  (
z  i^i  w )  e.  A  <->  A. z  e.  ran  (  x  e.  X  |->  { y  e.  X  |  -.  y R x } ) A. w  e.  ran  (  x  e.  X  |->  { y  e.  X  |  -.  y R x } ) ( z  i^i  w
)  e.  A )
6257, 61sylibr 205 . 2  |-  ( R  e.  TosetRel  ->  A. z  e.  A  A. w  e.  A  ( z  i^i  w
)  e.  A )
63 ssrab2 3260 . . . . . . . 8  |-  { y  e.  X  |  -.  y R x }  C_  X
6415adantr 453 . . . . . . . . 9  |-  ( ( R  e.  TosetRel  /\  x  e.  X )  ->  X  e.  _V )
65 elpw2g 4169 . . . . . . . . 9  |-  ( X  e.  _V  ->  ( { y  e.  X  |  -.  y R x }  e.  ~P X  <->  { y  e.  X  |  -.  y R x }  C_  X ) )
6664, 65syl 17 . . . . . . . 8  |-  ( ( R  e.  TosetRel  /\  x  e.  X )  ->  ( { y  e.  X  |  -.  y R x }  e.  ~P X  <->  { y  e.  X  |  -.  y R x }  C_  X ) )
6763, 66mpbiri 226 . . . . . . 7  |-  ( ( R  e.  TosetRel  /\  x  e.  X )  ->  { y  e.  X  |  -.  y R x }  e.  ~P X )
6867, 20fmptd 5646 . . . . . 6  |-  ( R  e.  TosetRel  ->  ( x  e.  X  |->  { y  e.  X  |  -.  y R x } ) : X --> ~P X
)
69 frn 5361 . . . . . 6  |-  ( ( x  e.  X  |->  { y  e.  X  |  -.  y R x }
) : X --> ~P X  ->  ran  (  x  e.  X  |->  { y  e.  X  |  -.  y R x } ) 
C_  ~P X )
7068, 69syl 17 . . . . 5  |-  ( R  e.  TosetRel  ->  ran  (  x  e.  X  |->  { y  e.  X  |  -.  y R x } ) 
C_  ~P X )
7125, 70syl5eqss 3224 . . . 4  |-  ( R  e.  TosetRel  ->  A  C_  ~P X )
72 pwexg 4194 . . . . 5  |-  ( X  e.  _V  ->  ~P X  e.  _V )
7315, 72syl 17 . . . 4  |-  ( R  e.  TosetRel  ->  ~P X  e. 
_V )
74 ssexg 4162 . . . 4  |-  ( ( A  C_  ~P X  /\  ~P X  e.  _V )  ->  A  e.  _V )
7571, 73, 74syl2anc 644 . . 3  |-  ( R  e.  TosetRel  ->  A  e.  _V )
76 inficl 7174 . . 3  |-  ( A  e.  _V  ->  ( A. z  e.  A  A. w  e.  A  ( z  i^i  w
)  e.  A  <->  ( fi `  A )  =  A ) )
7775, 76syl 17 . 2  |-  ( R  e.  TosetRel  ->  ( A. z  e.  A  A. w  e.  A  ( z  i^i  w )  e.  A  <->  ( fi `  A )  =  A ) )
7862, 77mpbid 203 1  |-  ( R  e.  TosetRel  ->  ( fi `  A )  =  A )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 5    -> wi 6    <-> wb 178    \/ wo 359    /\ wa 360    /\ w3a 936    = wceq 1624    e. wcel 1685   A.wral 2545   {crab 2549   _Vcvv 2790    i^i cin 3153    C_ wss 3154   ifcif 3567   ~Pcpw 3627   class class class wbr 4025    e. cmpt 4079   dom cdm 4689   ran crn 4690   -->wf 5218   ` cfv 5222   ficfi 7160    TosetRel ctsr 14297
This theorem is referenced by:  ordtbas2  16916
This theorem was proved from axioms:  ax-1 7  ax-2 8  ax-3 9  ax-mp 10  ax-gen 1534  ax-5 1545  ax-17 1604  ax-9 1637  ax-8 1645  ax-13 1687  ax-14 1689  ax-6 1704  ax-7 1709  ax-11 1716  ax-12 1868  ax-ext 2266  ax-sep 4143  ax-nul 4151  ax-pow 4188  ax-pr 4214  ax-un 4512
This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1312  df-ex 1530  df-nf 1533  df-sb 1632  df-eu 2149  df-mo 2150  df-clab 2272  df-cleq 2278  df-clel 2281  df-nfc 2410  df-ne 2450  df-ral 2550  df-rex 2551  df-reu 2552  df-rab 2554  df-v 2792  df-sbc 2994  df-csb 3084  df-dif 3157  df-un 3159  df-in 3161  df-ss 3168  df-pss 3170  df-nul 3458  df-if 3568  df-pw 3629  df-sn 3648  df-pr 3649  df-tp 3650  df-op 3651  df-uni 3830  df-int 3865  df-iun 3909  df-br 4026  df-opab 4080  df-mpt 4081  df-tr 4116  df-eprel 4305  df-id 4309  df-po 4314  df-so 4315  df-fr 4352  df-we 4354  df-ord 4395  df-on 4396  df-lim 4397  df-suc 4398  df-om 4657  df-xp 4695  df-rel 4696  df-cnv 4697  df-co 4698  df-dm 4699  df-rn 4700  df-res 4701  df-ima 4702  df-fun 5224  df-fn 5225  df-f 5226  df-f1 5227  df-fo 5228  df-f1o 5229  df-fv 5230  df-ov 5823  df-oprab 5824  df-mpt2 5825  df-recs 6384  df-rdg 6419  df-1o 6475  df-oadd 6479  df-er 6656  df-en 6860  df-fin 6863  df-fi 7161  df-ps 14301  df-tsr 14302
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