Theorem ordtri2 2988

Description: A trichotomy law for ordinals.

Assertion

Ref	Expression
ordtri2	|- ((Ord A /\ Ord B) -> (A e. B <-> -. (A = B \/ B e. A)))

Proof of Theorem ordtri2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ordsseleq 2982	. . . . 5 |- ((Ord B /\ Ord A) -> (B (_ A <-> (B e. A \/ B = A)))
2		eqcom 1480	. . . . . . 7 |- (B = A <-> A = B)
3	2	orbi2i 255	. . . . . 6 |- ((B e. A \/ B = A) <-> (B e. A \/ A = B))
4		orcom 246	. . . . . 6 |- ((B e. A \/ A = B) <-> (A = B \/ B e. A))
5	3, 4	bitr 173	. . . . 5 |- ((B e. A \/ B = A) <-> (A = B \/ B e. A))
6	1, 5	syl6bb 538	. . . 4 |- ((Ord B /\ Ord A) -> (B (_ A <-> (A = B \/ B e. A)))
7		ordtri1 2986	. . . 4 |- ((Ord B /\ Ord A) -> (B (_ A <-> -. A e. B))
8	6, 7	bitr3d 532	. . 3 |- ((Ord B /\ Ord A) -> ((A = B \/ B e. A) <-> -. A e. B))
9	8	ancoms 438	. 2 |- ((Ord A /\ Ord B) -> ((A = B \/ B e. A) <-> -. A e. B))
10	9	con2bid 528	1 |- ((Ord A /\ Ord B) -> (A e. B <-> -. (A = B \/ B e. A)))

Syntax hints:  -. wn 2   -> wi 3   <-> wb 146   \/ wo 222   /\ wa 223   = wceq 958   e. wcel 960   (_ wss 2050  Ord word 2953

This theorem is referenced by:  ord0eln0 3029  oaord 4187  omord2 4204  oeord 4221  ltsopi 5028

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 964  ax-gen 965  ax-8 966  ax-10 968  ax-11 969  ax-12 970  ax-13 971  ax-14 972  ax-17 973  ax-4 975  ax-5o 977  ax-6o 980  ax-9o 1125  ax-10o 1142  ax-16 1212  ax-11o 1220  ax-ext 1462  ax-sep 2708  ax-pow 2748  ax-pr 2785

This theorem depends on definitions:  df-bi 147  df-or 224  df-an 225  df-3or 778  df-3an 779  df-ex 983  df-sb 1174  df-eu 1384  df-mo 1385  df-clab 1467  df-cleq 1472  df-clel 1475  df-ne 1590  df-ral 1652  df-rex 1653  df-v 1815  df-dif 2052  df-un 2053  df-in 2054  df-ss 2056  df-nul 2284  df-pw 2406  df-sn 2416  df-pr 2417  df-op 2420  df-uni 2508  df-br 2625  df-opab 2672  df-tr 2686  df-eprel 2838  df-po 2846  df-so 2856  df-fr 2923  df-we 2940  df-ord 2957

Copyright terms: Public domain