Theorem ordtri3 2973

Description: A trichotomy law for ordinals.

Assertion

Ref	Expression
ordtri3	|- ((Ord A /\ Ord B) -> (A = B <-> -. (A e. B \/ B e. A)))

Proof of Theorem ordtri3

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eleq2 1527	. . . . . . 7 |- (A = B -> (A e. A <-> A e. B))
2	1	negbid 609	. . . . . 6 |- (A = B -> (-. A e. A <-> -. A e. B))
3		ordirr 2956	. . . . . 6 |- (Ord A -> -. A e. A)
4	2, 3	syl5bi 208	. . . . 5 |- (A = B -> (Ord A -> -. A e. B))
5		eleq2 1527	. . . . . . 7 |- (A = B -> (B e. A <-> B e. B))
6	5	negbid 609	. . . . . 6 |- (A = B -> (-. B e. A <-> -. B e. B))
7		ordirr 2956	. . . . . 6 |- (Ord B -> -. B e. B)
8	6, 7	syl5bir 210	. . . . 5 |- (A = B -> (Ord B -> -. B e. A))
9	4, 8	anim12d 556	. . . 4 |- (A = B -> ((Ord A /\ Ord B) -> (-. A e. B /\ -. B e. A)))
10		ioran 306	. . . 4 |- (-. (A e. B \/ B e. A) <-> (-. A e. B /\ -. B e. A))
11	9, 10	syl6ibr 213	. . 3 |- (A = B -> ((Ord A /\ Ord B) -> -. (A e. B \/ B e. A)))
12	11	com12 11	. 2 |- ((Ord A /\ Ord B) -> (A = B -> -. (A e. B \/ B e. A)))
13		ordtri3or 2969	. . 3 |- ((Ord A /\ Ord B) -> (A e. B \/ A = B \/ B e. A))
14		df-3or 774	. . . 4 |- ((A e. B \/ A = B \/ B e. A) <-> ((A e. B \/ A = B) \/ B e. A))
15		or23 263	. . . 4 |- (((A e. B \/ A = B) \/ B e. A) <-> ((A e. B \/ B e. A) \/ A = B))
16		df-or 224	. . . 4 |- (((A e. B \/ B e. A) \/ A = B) <-> (-. (A e. B \/ B e. A) -> A = B))
17	14, 15, 16	3bitr 177	. . 3 |- ((A e. B \/ A = B \/ B e. A) <-> (-. (A e. B \/ B e. A) -> A = B))
18	13, 17	sylib 198	. 2 |- ((Ord A /\ Ord B) -> (-. (A e. B \/ B e. A) -> A = B))
19	12, 18	impbid 514	1 |- ((Ord A /\ Ord B) -> (A = B <-> -. (A e. B \/ B e. A)))

Syntax hints:  -. wn 2   -> wi 3   <-> wb 146   \/ wo 222   /\ wa 223   \/ w3o 772   = wceq 953   e. wcel 955  Ord word 2937

This theorem is referenced by:  ordtri4 2974  ordunisuc2 3105  tz7.48lem 3940  oacan 4166  omcan 4184  oecan 4200  omsmo 4241  inf3lem6 4590  om2uzf1o 6238

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 959  ax-gen 960  ax-8 961  ax-10 963  ax-11 964  ax-12 965  ax-13 966  ax-14 967  ax-17 968  ax-4 970  ax-5o 972  ax-6o 975  ax-9o 1119  ax-10o 1136  ax-16 1206  ax-11o 1213  ax-ext 1452  ax-sep 2693  ax-pow 2732  ax-pr 2769

This theorem depends on definitions:  df-bi 147  df-or 224  df-an 225  df-3or 774  df-3an 775  df-ex 978  df-sb 1168  df-eu 1375  df-mo 1376  df-clab 1457  df-cleq 1462  df-clel 1465  df-ne 1579  df-ral 1641  df-rex 1642  df-v 1803  df-dif 2039  df-un 2040  df-in 2041  df-ss 2043  df-nul 2271  df-pw 2392  df-sn 2402  df-pr 2403  df-op 2406  df-uni 2494  df-br 2610  df-opab 2657  df-tr 2671  df-eprel 2821  df-po 2831  df-so 2841  df-fr 2907  df-we 2924  df-ord 2941

Copyright terms: Public domain