Theorem ordtri4 2981

Description: A trichotomy law for ordinals.

Assertion

Ref	Expression
ordtri4	|- ((Ord A /\ Ord B) -> (A = B <-> (A (_ B /\ -. A e. B)))

Proof of Theorem ordtri4

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ordtri3 2980	. 2 |- ((Ord A /\ Ord B) -> (A = B <-> -. (A e. B \/ B e. A)))
2		ordtri1 2977	. . . 4 |- ((Ord A /\ Ord B) -> (A (_ B <-> -. B e. A))
3	2	anbi1d 616	. . 3 |- ((Ord A /\ Ord B) -> ((A (_ B /\ -. A e. B) <-> (-. B e. A /\ -. A e. B)))
4		ancom 435	. . . 4 |- ((-. B e. A /\ -. A e. B) <-> (-. A e. B /\ -. B e. A))
5		ioran 306	. . . 4 |- (-. (A e. B \/ B e. A) <-> (-. A e. B /\ -. B e. A))
6	4, 5	bitr4 176	. . 3 |- ((-. B e. A /\ -. A e. B) <-> -. (A e. B \/ B e. A))
7	3, 6	syl6bb 535	. 2 |- ((Ord A /\ Ord B) -> ((A (_ B /\ -. A e. B) <-> -. (A e. B \/ B e. A)))
8	1, 7	bitr4d 530	1 |- ((Ord A /\ Ord B) -> (A = B <-> (A (_ B /\ -. A e. B)))

Syntax hints:  -. wn 2   -> wi 3   <-> wb 146   \/ wo 222   /\ wa 223   = wceq 955   e. wcel 957   (_ wss 2045  Ord word 2944

This theorem is referenced by:  carduni 4845  alephfp 4887

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 961  ax-gen 962  ax-8 963  ax-10 965  ax-11 966  ax-12 967  ax-13 968  ax-14 969  ax-17 970  ax-4 972  ax-5o 974  ax-6o 977  ax-9o 1122  ax-10o 1139  ax-16 1210  ax-11o 1218  ax-ext 1459  ax-sep 2700  ax-pow 2739  ax-pr 2776

This theorem depends on definitions:  df-bi 147  df-or 224  df-an 225  df-3or 775  df-3an 776  df-ex 980  df-sb 1172  df-eu 1382  df-mo 1383  df-clab 1464  df-cleq 1469  df-clel 1472  df-ne 1586  df-ral 1648  df-rex 1649  df-v 1810  df-dif 2047  df-un 2048  df-in 2049  df-ss 2051  df-nul 2279  df-pw 2400  df-sn 2410  df-pr 2411  df-op 2414  df-uni 2501  df-br 2617  df-opab 2664  df-tr 2678  df-eprel 2829  df-po 2837  df-so 2847  df-fr 2914  df-we 2931  df-ord 2948

Copyright terms: Public domain