Theorem ordunel 3074

Description: The maximum of two ordinals belongs to a third if each of them do.

Assertion

Ref	Expression
ordunel	|- ((Ord A /\ B e. A /\ C e. A) -> (B u. C) e. A)

Proof of Theorem ordunel

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ordsucss 3059	. . . 4 |- (Ord A -> (B e. A -> suc B (_ A))
2		ordsucss 3059	. . . 4 |- (Ord A -> (C e. A -> suc C (_ A))
3	1, 2	anim12d 556	. . 3 |- (Ord A -> ((B e. A /\ C e. A) -> (suc B (_ A /\ suc C (_ A)))
4	3	3impib 829	. 2 |- ((Ord A /\ B e. A /\ C e. A) -> (suc B (_ A /\ suc C (_ A))
5		ordsucun 3072	. . . . . . 7 |- ((Ord B /\ Ord C) -> suc (B u. C) = (suc B u. suc C))
6		ordelord 2960	. . . . . . . 8 |- ((Ord A /\ B e. A) -> Ord B)
7	6	3adant3 797	. . . . . . 7 |- ((Ord A /\ B e. A /\ C e. A) -> Ord B)
8		ordelord 2960	. . . . . . . 8 |- ((Ord A /\ C e. A) -> Ord C)
9	8	3adant2 796	. . . . . . 7 |- ((Ord A /\ B e. A /\ C e. A) -> Ord C)
10	5, 7, 9	sylanc 471	. . . . . 6 |- ((Ord A /\ B e. A /\ C e. A) -> suc (B u. C) = (suc B u. suc C))
11	10	sseq1d 2078	. . . . 5 |- ((Ord A /\ B e. A /\ C e. A) -> (suc (B u. C) (_ A <-> (suc B u. suc C) (_ A))
12	11	biimprd 154	. . . 4 |- ((Ord A /\ B e. A /\ C e. A) -> ((suc B u. suc C) (_ A -> suc (B u. C) (_ A))
13		ordelsuc 3061	. . . . 5 |- (((B u. C) e. V /\ Ord A) -> ((B u. C) e. A <-> suc (B u. C) (_ A))
14		unexg 2865	. . . . . 6 |- ((B e. A /\ C e. A) -> (B u. C) e. V)
15	14	3adant1 795	. . . . 5 |- ((Ord A /\ B e. A /\ C e. A) -> (B u. C) e. V)
16		3simp1 786	. . . . 5 |- ((Ord A /\ B e. A /\ C e. A) -> Ord A)
17	13, 15, 16	sylanc 471	. . . 4 |- ((Ord A /\ B e. A /\ C e. A) -> ((B u. C) e. A <-> suc (B u. C) (_ A))
18	12, 17	sylibrd 204	. . 3 |- ((Ord A /\ B e. A /\ C e. A) -> ((suc B u. suc C) (_ A -> (B u. C) e. A))
19		unss 2194	. . 3 |- ((suc B (_ A /\ suc C (_ A) <-> (suc B u. suc C) (_ A)
20	18, 19	syl5ib 206	. 2 |- ((Ord A /\ B e. A /\ C e. A) -> ((suc B (_ A /\ suc C (_ A) -> (B u. C) e. A))
21	4, 20	mpd 26	1 |- ((Ord A /\ B e. A /\ C e. A) -> (B u. C) e. A)

Syntax hints:   -> wi 3   <-> wb 146   /\ wa 223   /\ w3a 773   = wceq 953   e. wcel 955  Vcvv 1802   u. cun 2035   (_ wss 2037  Ord word 2937  suc csuc 2940

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 959  ax-gen 960  ax-8 961  ax-10 963  ax-11 964  ax-12 965  ax-13 966  ax-14 967  ax-17 968  ax-4 970  ax-5o 972  ax-6o 975  ax-9o 1119  ax-10o 1136  ax-16 1206  ax-11o 1213  ax-ext 1452  ax-sep 2693  ax-pow 2732  ax-pr 2769  ax-un 2857

This theorem depends on definitions:  df-bi 147  df-or 224  df-an 225  df-3or 774  df-3an 775  df-ex 978  df-sb 1168  df-eu 1375  df-mo 1376  df-clab 1457  df-cleq 1462  df-clel 1465  df-ne 1579  df-ral 1641  df-rex 1642  df-v 1803  df-dif 2039  df-un 2040  df-in 2041  df-ss 2043  df-nul 2271  df-pw 2392  df-sn 2402  df-pr 2403  df-tp 2405  df-op 2406  df-uni 2494  df-br 2610  df-opab 2657  df-tr 2671  df-eprel 2821  df-po 2831  df-so 2841  df-fr 2907  df-we 2924  df-ord 2941  df-on 2942  df-suc 2944

Copyright terms: Public domain