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Theorem ordunidif 4440
Description: The union of an ordinal stays the same if a subset equal to one of its elements is removed. (Contributed by NM, 10-Dec-2004.)
Assertion
Ref Expression
ordunidif  |-  ( ( Ord  A  /\  B  e.  A )  ->  U. ( A  \  B )  = 
U. A )

Proof of Theorem ordunidif
Dummy variables  x  y are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 ordelon 4416 . . . . . . . 8  |-  ( ( Ord  A  /\  B  e.  A )  ->  B  e.  On )
2 onelss 4434 . . . . . . . 8  |-  ( B  e.  On  ->  (
x  e.  B  ->  x  C_  B ) )
31, 2syl 15 . . . . . . 7  |-  ( ( Ord  A  /\  B  e.  A )  ->  (
x  e.  B  ->  x  C_  B ) )
4 eloni 4402 . . . . . . . . . . 11  |-  ( B  e.  On  ->  Ord  B )
5 ordirr 4410 . . . . . . . . . . 11  |-  ( Ord 
B  ->  -.  B  e.  B )
64, 5syl 15 . . . . . . . . . 10  |-  ( B  e.  On  ->  -.  B  e.  B )
7 eldif 3162 . . . . . . . . . . 11  |-  ( B  e.  ( A  \  B )  <->  ( B  e.  A  /\  -.  B  e.  B ) )
87simplbi2 608 . . . . . . . . . 10  |-  ( B  e.  A  ->  ( -.  B  e.  B  ->  B  e.  ( A 
\  B ) ) )
96, 8syl5 28 . . . . . . . . 9  |-  ( B  e.  A  ->  ( B  e.  On  ->  B  e.  ( A  \  B ) ) )
109adantl 452 . . . . . . . 8  |-  ( ( Ord  A  /\  B  e.  A )  ->  ( B  e.  On  ->  B  e.  ( A  \  B ) ) )
111, 10mpd 14 . . . . . . 7  |-  ( ( Ord  A  /\  B  e.  A )  ->  B  e.  ( A  \  B
) )
123, 11jctild 527 . . . . . 6  |-  ( ( Ord  A  /\  B  e.  A )  ->  (
x  e.  B  -> 
( B  e.  ( A  \  B )  /\  x  C_  B
) ) )
1312adantr 451 . . . . 5  |-  ( ( ( Ord  A  /\  B  e.  A )  /\  x  e.  A
)  ->  ( x  e.  B  ->  ( B  e.  ( A  \  B )  /\  x  C_  B ) ) )
14 sseq2 3200 . . . . . 6  |-  ( y  =  B  ->  (
x  C_  y  <->  x  C_  B
) )
1514rspcev 2884 . . . . 5  |-  ( ( B  e.  ( A 
\  B )  /\  x  C_  B )  ->  E. y  e.  ( A  \  B ) x 
C_  y )
1613, 15syl6 29 . . . 4  |-  ( ( ( Ord  A  /\  B  e.  A )  /\  x  e.  A
)  ->  ( x  e.  B  ->  E. y  e.  ( A  \  B
) x  C_  y
) )
17 eldif 3162 . . . . . . . . 9  |-  ( x  e.  ( A  \  B )  <->  ( x  e.  A  /\  -.  x  e.  B ) )
1817biimpri 197 . . . . . . . 8  |-  ( ( x  e.  A  /\  -.  x  e.  B
)  ->  x  e.  ( A  \  B ) )
19 ssid 3197 . . . . . . . 8  |-  x  C_  x
2018, 19jctir 524 . . . . . . 7  |-  ( ( x  e.  A  /\  -.  x  e.  B
)  ->  ( x  e.  ( A  \  B
)  /\  x  C_  x
) )
2120ex 423 . . . . . 6  |-  ( x  e.  A  ->  ( -.  x  e.  B  ->  ( x  e.  ( A  \  B )  /\  x  C_  x
) ) )
22 sseq2 3200 . . . . . . 7  |-  ( y  =  x  ->  (
x  C_  y  <->  x  C_  x
) )
2322rspcev 2884 . . . . . 6  |-  ( ( x  e.  ( A 
\  B )  /\  x  C_  x )  ->  E. y  e.  ( A  \  B ) x 
C_  y )
2421, 23syl6 29 . . . . 5  |-  ( x  e.  A  ->  ( -.  x  e.  B  ->  E. y  e.  ( A  \  B ) x  C_  y )
)
2524adantl 452 . . . 4  |-  ( ( ( Ord  A  /\  B  e.  A )  /\  x  e.  A
)  ->  ( -.  x  e.  B  ->  E. y  e.  ( A 
\  B ) x 
C_  y ) )
2616, 25pm2.61d 150 . . 3  |-  ( ( ( Ord  A  /\  B  e.  A )  /\  x  e.  A
)  ->  E. y  e.  ( A  \  B
) x  C_  y
)
2726ralrimiva 2626 . 2  |-  ( ( Ord  A  /\  B  e.  A )  ->  A. x  e.  A  E. y  e.  ( A  \  B
) x  C_  y
)
28 unidif 3859 . 2  |-  ( A. x  e.  A  E. y  e.  ( A  \  B ) x  C_  y  ->  U. ( A  \  B )  =  U. A )
2927, 28syl 15 1  |-  ( ( Ord  A  /\  B  e.  A )  ->  U. ( A  \  B )  = 
U. A )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    /\ wa 358    = wceq 1623    e. wcel 1684   A.wral 2543   E.wrex 2544    \ cdif 3149    C_ wss 3152   U.cuni 3827   Ord word 4391   Oncon0 4392
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1533  ax-5 1544  ax-17 1603  ax-9 1635  ax-8 1643  ax-14 1688  ax-6 1703  ax-7 1708  ax-11 1715  ax-12 1866  ax-ext 2264  ax-sep 4141  ax-nul 4149  ax-pr 4214
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1529  df-nf 1532  df-sb 1630  df-eu 2147  df-mo 2148  df-clab 2270  df-cleq 2276  df-clel 2279  df-nfc 2408  df-ne 2448  df-ral 2548  df-rex 2549  df-rab 2552  df-v 2790  df-sbc 2992  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-nul 3456  df-if 3566  df-sn 3646  df-pr 3647  df-op 3649  df-uni 3828  df-br 4024  df-opab 4078  df-tr 4114  df-eprel 4305  df-po 4314  df-so 4315  df-fr 4352  df-we 4354  df-ord 4395  df-on 4396
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