Theorem ordunidif 3001

Description: The union of an ordinal stays the same if a subset equal to one of its elements is removed.

Assertion

Ref	Expression
ordunidif	|- ((Ord A /\ B e. A) -> U.(A \ B) = U.A)

Proof of Theorem ordunidif

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ordelon 2967	. . . . . . . 8 |- ((Ord A /\ B e. A) -> B e. On)
2		onelsst 2996	. . . . . . . 8 |- (B e. On -> (x e. B -> x (_ B))
3	1, 2	syl 10	. . . . . . 7 |- ((Ord A /\ B e. A) -> (x e. B -> x (_ B))
4		eldif 2054	. . . . . . . . . . . 12 |- (B e. (A \ B) <-> (B e. A /\ -. B e. B))
5	4	biimpr 152	. . . . . . . . . . 11 |- ((B e. A /\ -. B e. B) -> B e. (A \ B))
6	5	ex 373	. . . . . . . . . 10 |- (B e. A -> (-. B e. B -> B e. (A \ B)))
7		eloni 2954	. . . . . . . . . . 11 |- (B e. On -> Ord B)
8		ordirr 2962	. . . . . . . . . . 11 |- (Ord B -> -. B e. B)
9	7, 8	syl 10	. . . . . . . . . 10 |- (B e. On -> -. B e. B)
10	6, 9	syl5 21	. . . . . . . . 9 |- (B e. A -> (B e. On -> B e. (A \ B)))
11	10	adantl 388	. . . . . . . 8 |- ((Ord A /\ B e. A) -> (B e. On -> B e. (A \ B)))
12	1, 11	mpd 26	. . . . . . 7 |- ((Ord A /\ B e. A) -> B e. (A \ B))
13	3, 12	jctild 600	. . . . . 6 |- ((Ord A /\ B e. A) -> (x e. B -> (B e. (A \ B) /\ x (_ B)))
14	13	adantr 389	. . . . 5 |- (((Ord A /\ B e. A) /\ x e. A) -> (x e. B -> (B e. (A \ B) /\ x (_ B)))
15		sseq2 2080	. . . . . 6 |- (y = B -> (x (_ y <-> x (_ B))
16	15	rcla4ev 1874	. . . . 5 |- ((B e. (A \ B) /\ x (_ B) -> E.y e. (A \ B)x (_ y)
17	14, 16	syl6 22	. . . 4 |- (((Ord A /\ B e. A) /\ x e. A) -> (x e. B -> E.y e. (A \ B)x (_ y))
18		eldif 2054	. . . . . . . . 9 |- (x e. (A \ B) <-> (x e. A /\ -. x e. B))
19	18	biimpr 152	. . . . . . . 8 |- ((x e. A /\ -. x e. B) -> x e. (A \ B))
20		ssid 2077	. . . . . . . 8 |- x (_ x
21	19, 20	jctir 293	. . . . . . 7 |- ((x e. A /\ -. x e. B) -> (x e. (A \ B) /\ x (_ x))
22	21	ex 373	. . . . . 6 |- (x e. A -> (-. x e. B -> (x e. (A \ B) /\ x (_ x)))
23		sseq2 2080	. . . . . . 7 |- (y = x -> (x (_ y <-> x (_ x))
24	23	rcla4ev 1874	. . . . . 6 |- ((x e. (A \ B) /\ x (_ x) -> E.y e. (A \ B)x (_ y)
25	22, 24	syl6 22	. . . . 5 |- (x e. A -> (-. x e. B -> E.y e. (A \ B)x (_ y))
26	25	adantl 388	. . . 4 |- (((Ord A /\ B e. A) /\ x e. A) -> (-. x e. B -> E.y e. (A \ B)x (_ y))
27	17, 26	pm2.61d 127	. . 3 |- (((Ord A /\ B e. A) /\ x e. A) -> E.y e. (A \ B)x (_ y)
28	27	r19.21aiva 1712	. 2 |- ((Ord A /\ B e. A) -> A.x e. A E.y e. (A \ B)x (_ y)
29		unidif 2526	. 2 |- (A.x e. A E.y e. (A \ B)x (_ y -> U.(A \ B) = U.A)
30	28, 29	syl 10	1 |- ((Ord A /\ B e. A) -> U.(A \ B) = U.A)

Syntax hints:  -. wn 2   -> wi 3   /\ wa 223   = wceq 955   e. wcel 957  A.wral 1643  E.wrex 1644   \ cdif 2041   (_ wss 2044  U.cuni 2499  Ord word 2943  Oncon0 2944

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 961  ax-gen 962  ax-8 963  ax-10 965  ax-11 966  ax-12 967  ax-13 968  ax-14 969  ax-17 970  ax-4 972  ax-5o 974  ax-6o 977  ax-9o 1122  ax-10o 1139  ax-16 1209  ax-11o 1217  ax-ext 1458  ax-sep 2699  ax-pow 2738  ax-pr 2775

This theorem depends on definitions:  df-bi 147  df-or 224  df-an 225  df-3an 776  df-ex 980  df-sb 1171  df-eu 1381  df-mo 1382  df-clab 1463  df-cleq 1468  df-clel 1471  df-ne 1585  df-ral 1647  df-rex 1648  df-v 1809  df-dif 2046  df-un 2047  df-in 2048  df-ss 2050  df-nul 2278  df-pw 2399  df-sn 2409  df-pr 2410  df-op 2413  df-uni 2500  df-br 2616  df-opab 2663  df-tr 2677  df-eprel 2828  df-po 2836  df-so 2846  df-fr 2913  df-we 2930  df-ord 2947  df-on 2948

Copyright terms: Public domain