Theorem orduniorsuc 3077

Description: An ordinal class is either its union or the successor of its union.

Assertion

Ref	Expression
orduniorsuc	|- (Ord A -> (A = U.A \/ A = suc U.A))

Proof of Theorem orduniorsuc

Step	Hyp	Ref	Expression
1		orduniss 3066	. . . . . 6 |- (Ord A -> U.A (_ A)
2		orduni 2987	. . . . . . . 8 |- (Ord A -> Ord U.A)
3		ordelssne 2964	. . . . . . . 8 |- ((Ord U.A /\ Ord A) -> (U.A e. A <-> (U.A (_ A /\ U.A =/= A)))
4	2, 3	mpancom 703	. . . . . . 7 |- (Ord A -> (U.A e. A <-> (U.A (_ A /\ U.A =/= A)))
5	4	biimprd 154	. . . . . 6 |- (Ord A -> ((U.A (_ A /\ U.A =/= A) -> U.A e. A))
6	1, 5	mpand 699	. . . . 5 |- (Ord A -> (U.A =/= A -> U.A e. A))
7		ordsucss 3059	. . . . 5 |- (Ord A -> (U.A e. A -> suc U.A (_ A))
8	6, 7	syld 27	. . . 4 |- (Ord A -> (U.A =/= A -> suc U.A (_ A))
9		ordsucuni 3076	. . . 4 |- (Ord A -> A (_ suc U.A)
10	8, 9	jctild 599	. . 3 |- (Ord A -> (U.A =/= A -> (A (_ suc U.A /\ suc U.A (_ A)))
11		df-ne 1579	. . . 4 |- (A =/= U.A <-> -. A = U.A)
12		necom 1628	. . . 4 |- (A =/= U.A <-> U.A =/= A)
13	11, 12	bitr3 175	. . 3 |- (-. A = U.A <-> U.A =/= A)
14		eqss 2067	. . 3 |- (A = suc U.A <-> (A (_ suc U.A /\ suc U.A (_ A))
15	10, 13, 14	3imtr4g 551	. 2 |- (Ord A -> (-. A = U.A -> A = suc U.A))
16	15	orrd 233	1 |- (Ord A -> (A = U.A \/ A = suc U.A))

Syntax hints:  -. wn 2   -> wi 3   <-> wb 146   \/ wo 222   /\ wa 223   = wceq 953   e. wcel 955   =/= wne 1577   (_ wss 2037  U.cuni 2493  Ord word 2937  suc csuc 2940

This theorem is referenced by:  onsucuni2 3081  onuniorsuc 3097

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 959  ax-gen 960  ax-8 961  ax-10 963  ax-11 964  ax-12 965  ax-13 966  ax-14 967  ax-17 968  ax-4 970  ax-5o 972  ax-6o 975  ax-9o 1119  ax-10o 1136  ax-16 1206  ax-11o 1213  ax-ext 1452  ax-sep 2693  ax-pow 2732  ax-pr 2769  ax-un 2857

This theorem depends on definitions:  df-bi 147  df-or 224  df-an 225  df-3or 774  df-3an 775  df-ex 978  df-sb 1168  df-eu 1375  df-mo 1376  df-clab 1457  df-cleq 1462  df-clel 1465  df-ne 1579  df-ral 1641  df-rex 1642  df-v 1803  df-dif 2039  df-un 2040  df-in 2041  df-ss 2043  df-nul 2271  df-pw 2392  df-sn 2402  df-pr 2403  df-tp 2405  df-op 2406  df-uni 2494  df-br 2610  df-opab 2657  df-tr 2671  df-eprel 2821  df-po 2831  df-so 2841  df-fr 2907  df-we 2924  df-ord 2941  df-on 2942  df-suc 2944

Copyright terms: Public domain